Trong hình học, đường trung trực đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất và đặc điểm của tam giác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về đường trung trực của tam giác, các tính chất liên quan, và ứng dụng của chúng trong giải toán.
Đường trung trực của một cạnh tam giác là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của cạnh. Mỗi tam giác có ba đường trung trực, tương ứng với ba cạnh của nó.
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Đây là khái niệm cơ bản để hiểu về đường trung trực trong tam giác.
Tính Chất Quan Trọng của Đường Trung Trực:
-
Tính chất 1: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
-
Tính chất 2: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Điểm đồng quy của ba đường trung trực (thường ký hiệu là O) có một tính chất đặc biệt: nó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Điều này có nghĩa là, nếu vẽ một đường tròn có tâm tại O và đi qua một đỉnh của tam giác, thì đường tròn này sẽ đi qua cả ba đỉnh của tam giác.
Ta có: OA = OB = OC. Khoảng cách từ tâm O đến mỗi đỉnh là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.
-
Tính chất 3: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
-
Tính chất 4: Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Điều này có nghĩa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở trung điểm cạnh huyền.
Ví dụ Minh Họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?
Hướng dẫn:
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên EA = EB = EC.
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC.
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?
Hướng dẫn:
Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB. Suy ra, tam giác ADB cân tại D.
Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC. Suy ra, tam giác AEC cân tại E.
Hiểu rõ các tính chất của đường trung trực giúp giải quyết nhiều bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tìm điểm cách đều các điểm cho trước, hoặc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp.
