Lý Thuyết Về Tính Chất Đường Phân Giác Của Tam Giác
Đường phân giác của một góc trong tam giác không chỉ đơn thuần là đường thẳng chia đôi góc đó. Nó còn mang những tính chất đặc biệt liên quan đến tỉ lệ các cạnh của tam giác. Dưới đây là định lý quan trọng về tính chất này:
Định lý (Tính chất đường phân giác trong tam giác): Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng, sao cho tỉ lệ độ dài của hai đoạn này bằng tỉ lệ độ dài của hai cạnh kề với chúng.
Hình ảnh minh họa tính chất đường phân giác trong tam giác.
Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Khi đó, ta có tỉ lệ thức sau:
BD / DC = AB / ACVí dụ: Cho tam giác ABC, AD là phân giác của góc A, biết AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 6cm. Tính độ dài BD và DC.
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
BD / DC = AB / AC = 5 / 7Mà BD + DC = BC = 6cm. Giải hệ phương trình, ta tìm được BD và DC.
Chứng Minh Định Lý Về Tính Chất Đường Phân Giác
Để hiểu rõ hơn về tính chất này, chúng ta cùng xem xét chứng minh định lý:
Hình ảnh minh họa các bước chứng minh định lý đường phân giác trong tam giác.
Giả thiết: Tam giác ABC, AD là phân giác của góc BAC (D thuộc BC).
Kết luận: BD/DC = AB/AC
Chứng minh:
-
Vẽ đường thẳng BE song song với AD, cắt AC kéo dài tại E.
-
Vì AD là phân giác góc BAC nên góc BAD = góc CAD.
-
Vì BE // AD nên:
- Góc BAD = góc ABE (so le trong).
- Góc CAD = góc AEB (đồng vị).
Suy ra góc ABE = góc AEB, do đó tam giác ABE cân tại A, vậy AB = AE.
-
Áp dụng định lý Thales trong tam giác BCE, ta có:
BD/DC = AE/AC
-
Mà AE = AB (chứng minh trên), nên BD/DC = AB/AC (điều phải chứng minh).
Ứng Dụng Tính Chất Đường Phân Giác:
1. Giải các bài toán liên quan đến độ dài đoạn thẳng:
Tính chất đường phân giác giúp ta thiết lập mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, từ đó giải quyết các bài toán tìm độ dài.
Hình ảnh ví dụ áp dụng tính chất đường phân giác để tìm độ dài đoạn thẳng.
2. Chứng minh các bài toán hình học:
Tính chất này là công cụ hữu ích trong việc chứng minh các bài toán liên quan đến đường phân giác, tỉ lệ thức trong tam giác.
Bài Tập Vận Dụng Tính Chất Đường Phân Giác
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 5cm. AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Tính độ dài BD và DC.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: BD/DC = AB/AC = 4/6 = 2/3.
Mà BD + DC = BC = 5cm. Giải hệ phương trình, ta tìm được BD = 2cm và DC = 3cm.
Bài 2: Cho hình vẽ, biết AD là phân giác của góc A, AB = 3.5, AC = 7.5. Tính x/y. Tính x khi y = 5.
Hình ảnh bài tập áp dụng tính chất đường phân giác để tính tỉ lệ và độ dài.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: x/y = AB/AC = 3.5/7.5 = 7/15
b) Khi y = 5, ta có x = (7/15) * 5 = 7/3.
Bài 3: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.
Hình ảnh minh họa bài tập về đường phân giác trong và ngoài tam giác.
Hướng dẫn giải:
- Đường phân giác trong AD: Áp dụng tính chất đường phân giác trong: DB/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3. Vì DB + DC = BC = 10, giải ra ta được DB = 4 cm.
- Đường phân giác ngoài AE: Áp dụng tính chất đường phân giác ngoài: EB/EC = AB/AC = 6/9 = 2/3. Vì EC – EB = BC = 10, giải ra ta được EB = 20 cm.
Mở Rộng: Tính Chất Đường Phân Giác Ngoài
Ngoài đường phân giác trong, tam giác còn có đường phân giác ngoài. Đường phân giác ngoài của một góc trong tam giác là đường thẳng chia đôi góc ngoài tại đỉnh đó. Tính chất của đường phân giác ngoài cũng tương tự như đường phân giác trong, nhưng có một số khác biệt nhỏ.
Hình ảnh minh họa đường phân giác ngoài trong tam giác.
Cho tam giác ABC, AE là đường phân giác ngoài của góc A (E thuộc BC kéo dài). Khi đó, ta có tỉ lệ thức sau:
EB / EC = AB / ACKết Luận
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên các bài tập về tính chất đường phân giác trong tam giác sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán hình học liên quan và phát triển tư duy logic. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cần thiết.
