Dãy tỉ số bằng nhau là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Việc nắm vững lý thuyết và biết cách áp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng.
1. Dãy Tỉ Số Bằng Nhau Là Gì?
Một dãy tỉ số có dạng a/b = c/d = e/f (với b, d, f khác 0) được gọi là một dãy tỉ số bằng nhau.
2. Các Tính Chất Cơ Bản Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau
Từ định nghĩa, ta có các tính chất sau:
-
Tính chất 1: Nếu a/b = c/d thì a/c = b/d (tính chất hoán đổi trung tỷ và ngoại tỷ)
-
Tính chất 2: Nếu a/b = c/d thì (a + c) / (b + d) = a/b = c/d (tính chất cộng các tử và mẫu)
-
Tổng quát: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a/b = c/d = e/f = … = k/l (với b, d, f, …, l khác 0), ta có:
(a + c + e + … + k) / (b + d + f + … + l) = a/b = c/d = e/f = … = k/l
Lưu ý: Tính chất này chỉ áp dụng khi b + d + f + … + l khác 0.
3. Mở Rộng Tính Chất Dãy Tỉ Số Bằng Nhau
Ngoài các tính chất cơ bản, chúng ta còn có các mở rộng quan trọng sau:
Nếu a/b = c/d = e/f thì:
-
(a – c) / (b – d) = a/b = c/d (tính chất trừ các tử và mẫu)
-
(ma + nc) / (mb + nd) = a/b = c/d (với m, n là các số bất kỳ và mb + nd khác 0)
-
(ma + nc + pe) / (mb + nd + pf) = a/b = c/d = e/f (với m, n, p là các số bất kỳ và mb + nd + pf khác 0)
4. Ứng Dụng Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau
Dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng rộng rãi trong giải toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến:
- Tìm x, y, z khi biết tỉ lệ: Ví dụ: Tìm x, y biết x/2 = y/3 và x + y = 10.
- Chia tỉ lệ: Ví dụ: Chia 120 quyển sách cho ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 3, 4, 5.
- Các bài toán thực tế: Ví dụ: Tính chiều dài các cạnh của một tam giác khi biết chu vi và tỉ lệ giữa các cạnh.
5. Chú Ý Quan Trọng
Khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, cần chú ý đến các điều kiện sau:
- Các mẫu số phải khác 0.
- Tổng các mẫu số trong tính chất cộng (hoặc trừ) phải khác 0.
- Khi nói x, y, z tỉ lệ với a, b, c thì x/a = y/b = z/c (với a, b, c khác 0).
6. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm x, y biết x/3 = y/5 và x + y = 16
Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/3 = y/5 = (x + y) / (3 + 5) = 16/8 = 2
Suy ra:
- x = 3 * 2 = 6
- y = 5 * 2 = 10
Vậy x = 6 và y = 10.
Ví dụ 2: Cho a/2 = b/3 = c/4 và a + 2b – c = 10. Tính a, b, c.
Lời giải:
Từ a/2 = b/3 = c/4, ta có b = (3/2)a và c = 2a.
Thay vào biểu thức a + 2b – c = 10, ta được:
a + 2*(3/2)a – 2a = 10
a + 3a – 2a = 10
2a = 10
a = 5
Suy ra:
- b = (3/2) * 5 = 7.5
- c = 2 * 5 = 10
Vậy a = 5, b = 7.5 và c = 10.
7. Bài Tập Vận Dụng
- Tìm x, y, z biết x/2 = y/3 = z/4 và x + y + z = 27.
- Cho a/5 = b/7 = c/2 và a – b + c = -10. Tính a, b, c.
- Ba lớp 7A, 7B, 7C đóng góp giấy vụn tỉ lệ với 2, 3, 4. Biết tổng số giấy vụn của ba lớp là 180kg. Tính số giấy vụn mỗi lớp đóng góp.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công trong việc giải các bài toán liên quan đến tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Chúc các em học tốt!
