Trong chương trình Toán lớp 9, việc giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông là một phần quan trọng. Đặc biệt, khả năng tính cạnh tam giác vuông khi biết góc là kỹ năng cần thiết để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp và ví dụ minh họa chi tiết để nắm vững kiến thức này.
Các Hệ Thức Lượng Cơ Bản Trong Tam Giác Vuông
Để tính cạnh tam giác vuông khi biết góc, chúng ta cần nắm vững các hệ thức lượng sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, với cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b và c. Gọi góc B là góc nhọn đối diện với cạnh b và góc C là góc nhọn đối diện với cạnh c.
-
Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn:
- sin B = đối / huyền = b / a
- cos B = kề / huyền = c / a
- tan B = đối / kề = b / c
- cot B = kề / đối = c / b
-
Hệ thức liên hệ giữa các cạnh và góc:
- b = a sin B = a cos C
- c = a sin C = a cos B
- b = c tan B = c cot C
- c = b tan C = b cot B
Lưu ý: Khi tính cạnh tam giác vuông khi biết góc, cần xác định rõ góc đã cho là góc nào và cạnh cần tìm có mối quan hệ gì với góc đó (đối, kề, huyền).
Phương Pháp Giải Bài Tập Tính Cạnh Tam Giác Vuông Khi Biết Góc
Để giải quyết các bài toán tính cạnh tam giác vuông khi biết góc, ta thực hiện theo các bước sau:
- Vẽ hình: Vẽ hình tam giác vuông và ký hiệu các yếu tố đã biết (góc, cạnh).
- Xác định tỉ số lượng giác phù hợp: Dựa vào góc và cạnh đã biết, xác định tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot) phù hợp để sử dụng.
- Áp dụng công thức: Thay số vào công thức và tính toán để tìm cạnh cần tìm.
- Kiểm tra kết quả: So sánh kết quả với hình vẽ để đảm bảo tính hợp lý.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B = 40° và cạnh BC = 11cm. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
- Ta có: cos B = AB / BC
- => AB = BC cos B = 11 cos 40° ≈ 11 * 0.766 ≈ 8.43 cm
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân ABC tại A, cạnh góc vuông bằng a. Tính cạnh huyền BC.
Giải:
- Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên góc B = góc C = 45°.
- Áp dụng định lý Pitago: BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²
- => BC = √(2a²) = a√2
Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính chiều cao AH.
Giải:
- Vì tam giác ABC đều nên góc B = 60°. AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, suy ra BH = a/2.
- Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: sin B = AH / AB
- => AH = AB sin B = a sin 60° = a * (√3/2) = (a√3)/2
Bài Tập Tự Luyện
- Cho tam giác DEF vuông tại D, có góc E = 30° và EF = 6cm. Tính độ dài DE.
- Cho tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = 3cm, BC = 4cm. Tính số đo góc A.
- Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7.5m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 42°. Tính chiều cao của cột đèn.
Kết Luận
Việc tính cạnh tam giác vuông khi biết góc đòi hỏi sự nắm vững các hệ thức lượng giác và kỹ năng áp dụng linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Bằng cách luyện tập thường xuyên và làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông trong chương trình Toán lớp 9. Chúc bạn thành công!