Trong hình học, tam giác vuông là một hình học cơ bản và quan trọng. Việc tính toán các yếu tố của tam giác vuông, đặc biệt là cạnh góc vuông, có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp và công thức để tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm để bạn đọc dễ dàng nắm vững kiến thức.
Các Phương Pháp Tính Cạnh Góc Vuông
Để tính độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Định lý Pytago:
Định lý Pytago là công cụ cơ bản nhất. Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Nếu tam giác ABC vuông tại A, ta có: BC² = AB² + AC². Từ đó, ta có thể suy ra công thức tính cạnh góc vuông:
AB² = BC² - AC²=>AB = √(BC² - AC²)AC² = BC² - AB²=>AC = √(BC² - AB²)
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Ngoài định lý Pytago, chúng ta còn có các hệ thức lượng khác liên quan đến đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền:
b² = ab'(b là cạnh góc vuông, a là cạnh huyền, b’ là hình chiếu của b trên a)c² = ac'(c là cạnh góc vuông, a là cạnh huyền, c’ là hình chiếu của c trên a)h² = b'c'(h là đường cao ứng với cạnh huyền)ha = bc1/h² = 1/b² + 1/c²
Trong đó:
- a là độ dài cạnh huyền BC.
- b là độ dài cạnh góc vuông AC.
- c là độ dài cạnh góc vuông AB.
- h là độ dài đường cao AH.
- b’ là độ dài hình chiếu CH của cạnh AC trên cạnh huyền BC.
- c’ là độ dài hình chiếu BH của cạnh AB trên cạnh huyền BC.
Alt: Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH, các cạnh a, b, c và hình chiếu b’, c’ được ký hiệu rõ ràng.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn:
Nếu biết một góc nhọn và một cạnh của tam giác vuông, ta có thể sử dụng các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot) để tính cạnh góc vuông. Ví dụ:
sin(B) = AC/BCcos(B) = AB/BCtan(B) = AC/ABcot(B) = AB/AC
Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 10cm, cạnh AC = 6cm. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
Áp dụng định lý Pytago:
AB² = BC² - AC² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
=> AB = √64 = 8cm
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 4cm, BC = 9cm. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng: AB² = BH.BC = 4.9 = 36
=> AB = √36 = 6cm
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30 độ, cạnh BC = 12cm. Tính độ dài cạnh AC.
Giải:
Sử dụng tỉ số lượng giác: sin(B) = AC/BC
=> AC = BC.sin(B) = 12.sin(30°) = 12.(1/2) = 6cm
Alt: Minh họa các hệ thức lượng giác cơ bản sin, cos, tan trong tam giác vuông ABC.
Bài Tập Trắc Nghiệm
Câu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, AB = 5cm, BC = 13cm. Độ dài cạnh AC là:
A. 8cm
B. 12cm
C. 18cm
D. 6cm
Câu 2: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 3cm, CH = 4cm. Độ dài đường cao AH là:
A. 5cm
B. 7cm
C. 2√3 cm
D. √7 cm
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60 độ, AB = 4cm. Độ dài cạnh BC là:
A. 8/√3 cm
B. 8cm
C. 4√3 cm
D. 2cm
Đáp án:
- B
- 2√3 cm
- A
Alt: Hình vẽ minh họa các yếu tố của tam giác vuông ABC, đường cao AH, cạnh huyền BC, và hai cạnh góc vuông AB, AC.
Ứng Dụng Thực Tế
Việc tính toán cạnh góc vuông không chỉ là một bài toán hình học mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Xây dựng: Tính toán chiều cao của một tòa nhà, độ dốc của mái nhà, chiều dài của một đoạn đường.
- Thiết kế: Xác định kích thước của các vật dụng, tính toán diện tích và thể tích.
- Đo đạc: Đo khoảng cách giữa các điểm, xác định vị trí.
Kết Luận
Việc nắm vững các phương pháp và công thức tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông là rất quan trọng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đọc những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các kỹ năng này.
