Bán kính đường tròn nội tiếp là một khái niệm quan trọng trong hình học tam giác. Bài viết này sẽ cung cấp các phương pháp Tính Bán Kính đường Tròn Nội Tiếp tam giác một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Công Thức Tính Bán Kính Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Công thức chính để tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác liên quan đến diện tích và nửa chu vi của tam giác.
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; và p là nửa chu vi tam giác (p = (a + b + c) / 2). Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp (r) được tính theo công thức:
r = S / p
Trong đó, S là diện tích của tam giác ABC. Để tính diện tích S, ta có thể sử dụng công thức Heron:
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c))
Hình ảnh minh họa công thức tính nửa chu vi p=(a+b+c)/2 và công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp r=S/p, giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ.
Vậy, để tính bán kính đường tròn nội tiếp, ta cần:
- Tính nửa chu vi p của tam giác.
- Tính diện tích S của tam giác bằng công thức Heron hoặc các công thức khác phù hợp (ví dụ: nếu biết chiều cao).
- Áp dụng công thức r = S / p để tìm bán kính.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 7 cm, và BC = 11 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
- Tính nửa chu vi: p = (6 + 7 + 11) / 2 = 12 cm
- Tính diện tích bằng công thức Heron:
S = √(12(12 – 6)(12 – 7)(12 – 11)) = √(12 6 5 * 1) = √360 = 6√10 cm²
- Tính bán kính: r = S / p = (6√10) / 12 = √10 / 2 cm
Hình ảnh tam giác ABC với các cạnh AB=6, AC=7, BC=11 và đường tròn nội tiếp, giúp hình dung bài toán tính bán kính.
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có DE = 6, EF = 12 và góc DEF = 60°. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Giải:
a) Tính cạnh DF bằng định lý cosin:
DF² = DE² + EF² – 2 DE EF cos(DEF)
DF² = 6² + 12² – 2 6 12 cos(60°)
DF² = 36 + 144 – 72 = 108
DF = √108 = 6√3
b) Tính diện tích tam giác DEF:
S = (1/2) DE EF sin(DEF)
S = (1/2) 6 12 sin(60°)
S = 36 * (√3 / 2) = 18√3
c) Tính nửa chu vi: p = (6 + 12 + 6√3) / 2 = 9 + 3√3
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp:
r = S / p = (18√3) / (9 + 3√3) = (6√3) / (3 + √3) = (6√3 * (3 – √3)) / ((3 + √3)(3 – √3)) = (18√3 – 18) / 6 = 3√3 – 3
Hình ảnh tam giác DEF với góc DEF=60 độ, DE=6, EF=12 và đường tròn nội tiếp, minh họa cách áp dụng định lý cosin và công thức diện tích.
3. Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Tam giác đều: Nếu tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, thì bán kính đường tròn nội tiếp là r = (a√3) / 6.
- Tam giác vuông: Nếu tam giác ABC vuông tại A, thì bán kính đường tròn nội tiếp là r = (AB + AC – BC) / 2.
- Tam giác vuông cân: Nếu tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a, thì bán kính đường tròn nội tiếp là r = a(2 – √2) / 2.
Hình ảnh tam giác vuông ABC vuông tại B, minh họa công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp trong trường hợp tam giác vuông.
4. Bài Tập Tự Luyện
- Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9 và BC = 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Tam giác đều ABC có cạnh là a, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC có góc A = 60°, AB = 3 và AC = 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6 và BC = 9. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời kết:
Việc nắm vững công thức và phương pháp tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này. Chúc bạn học tốt!
