Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, việc nắm vững công thức và cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết nhất, kèm theo các ví dụ minh họa dễ hiểu.
Các Phương Pháp Tính Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp
Có nhiều phương pháp để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tùy thuộc vào dữ kiện bài toán. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến nhất:
1. Định Lý Sin:
Đây là phương pháp thường được sử dụng khi biết độ dài một cạnh và góc đối diện của tam giác.
Cho tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có công thức:
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
Từ đó suy ra: R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)
2. Sử Dụng Diện Tích Tam Giác:
Khi biết diện tích tam giác và độ dài ba cạnh, ta có thể sử dụng công thức sau:
R = (abc) / (4S)
Trong đó:
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
- a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác
- S là diện tích tam giác
3. Trong Hệ Tọa Độ:
Nếu tam giác được cho trong hệ tọa độ, ta có thể thực hiện các bước sau:
- Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có).
- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tìm: R = OA = OB = OC.
4. Tam Giác Vuông:
Đối với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền. Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền. Đây là một trường hợp đặc biệt và rất dễ áp dụng.
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp trên, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc B = 45° và AC = 4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Áp dụng định lý sin, ta có:
AC / sinB = 2R
=> 4 / sin45° = 2R
=> R = 4 / (2 sin45°) = 4 / (2 √2 / 2) = 2√2
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2√2.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Đầu tiên, ta tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (3 + 5 + 6) / 2 = 7
S = √(p(p – AB)(p – AC)(p – BC)) = √(7(7 – 3)(7 – 5)(7 – 6)) = √(7 4 2 * 1) = √56 = 2√14
Sau đó, áp dụng công thức R = (abc) / (4S)
R = (3 5 6) / (4 * 2√14) = 90 / (8√14) = (45√14) / 56
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (45√14) / 56.
Ví dụ 3: Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8 và PN = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Giải:
Nhận thấy MN² + MP² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = PN². Vậy tam giác MNP vuông tại M.
Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:
R = PN / 2 = 10 / 2 = 5
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (Ví dụ này phức tạp, cần hình vẽ minh họa và nhiều bước giải)
Giải:
(Các bước giải chi tiết sẽ sử dụng kiến thức về tỉ lệ, tam giác đồng dạng và các định lý liên quan. Do độ phức tạp, chúng được tóm tắt, tập trung vào việc tìm ra các yếu tố cần thiết để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Vì 2IB = 3IC và BC = 10, ta tìm được IB = 6 và IC = 4.
Do IM và IN là bán kính và vuông góc với AB và AC, ta có các tam giác vuông.
Đặt góc A = 2α. Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm cosα và sinα.
Từ đó tính được cosA.
Cuối cùng, áp dụng định lý sin để tính R:
R = BC / (2sinA) = 10 / (2√(1 – cos²A)). Thay số và tính toán để tìm ra kết quả.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R1 của tam giác ABC.
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R2 của tam giác CBM.
Giải:
a) Diện tích tam giác ABC: S = (1/2) AB AC = (1/2) 1 4 = 2
b) Vì tam giác ABC vuông tại A, BC là cạnh huyền. Theo định lý Pytago:
BC = √(AB² + AC²) = √(1² + 4²) = √17
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R1 = BC / 2 = √17 / 2
c) Tam giác CBM có CM = AC/2 = 2. Tính BM = √(AB² + AM²) = √(1² + 2²) = √5 (tam giác ABM vuông tại A)
Diện tích tam giác CBM = 1/2 AB CM = 1/2 1 2 = 1
Áp dụng công thức: R2 = (BC CM BM) / (4S) = (√17 2 √5) / (4 * 1) = (√85) / 2
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM là (√85) / 2
Kết Luận
Hiểu rõ các phương pháp tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một kỹ năng quan trọng trong hình học. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập giải các bài tập, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!
