Tìm x Để Căn Thức Sau Có Nghĩa: Bí Quyết & Bài Tập Vận Dụng

Để giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc hai, một trong những kỹ năng quan trọng nhất là xác định điều kiện để căn thức có nghĩa. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về vấn đề này, giúp bạn nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài tập liên quan.

A. Điều kiện để căn thức có nghĩa

Căn bậc hai của một biểu thức, ký hiệu là √A, chỉ có nghĩa (xác định) khi biểu thức A không âm. Nói cách khác:

√A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

Ngoài ra, khi biểu thức chứa phân số, ta cần đảm bảo mẫu số khác 0 để phân thức có nghĩa. Điều này thường xuất hiện khi biểu thức dưới căn là một phân thức.

B. Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng điều kiện trên, hãy xem xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm x để biểu thức √(5 – 2x) có nghĩa.

Lời giải:

Để √(5 – 2x) có nghĩa, ta cần:

5 – 2x ≥ 0
⇔ 5 ≥ 2x
⇔ x ≤ 5/2

Vậy, biểu thức √(5 – 2x) có nghĩa khi x ≤ 5/2.

Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức √(1/(x-1)) có nghĩa.

Lời giải:

Để √(1/(x-1)) có nghĩa, ta cần đồng thời hai điều kiện:

1. 1/(x-1) ≥ 0
2. x – 1 ≠ 0 (điều kiện mẫu khác 0)

Từ điều kiện 1, vì tử số là 1 > 0, suy ra mẫu số phải dương, tức là x – 1 > 0.

Kết hợp với điều kiện 2, ta có x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

Vậy, biểu thức √(1/(x-1)) có nghĩa khi x > 1.

C. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) √(-7x)

b) √(3x² + 1)

c) √(x² – 8x – 9)

d) √(2x² + 4x + 5)

Hướng dẫn giải:

a) √(-7x) có nghĩa khi -7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

b) √(3x² + 1) có nghĩa với mọi x vì 3x² ≥ 0 ∀ x nên 3x² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x

c) √(x² – 8x – 9) có nghĩa khi x² – 8x – 9 ≥ 0 ⇔ (x – 9)(x + 1) ≥ 0. Điều này xảy ra khi x ≤ -1 hoặc x ≥ 9.

d) √(2x² + 4x + 5) có nghĩa với mọi x vì 2x² + 4x + 5 = 2(x² + 2x + 1) + 3 = 2(x + 1)² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x

Bài 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) √(-x – 1) + 1

b) √(x+2)/(x-1)

c) √(2x-2) + 2√(2x-3) + √(2x+1)/(3+8√(2x-3))

Bài 3: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) √(-2x² – 5x + 6)

b) √(x+1)/(x²-1)

c) 1/(1 + √(x))

d) √(7-x) – 1/(1+√(x))

Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) √(x-2)/(5-x)

b) √(-3x)/(x²-1)

c) (3x-2)/(√(x²-2x+4))

d) √(x²+2x+4)/(2x-3)

Bài 5: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) (x+2)/(√(x-5)) + (3x)/(√(x+5))

b) √(x+2) – 5

c) (2x)/(√(x²-9)) + √(x+3)

Lời khuyên:

• Luôn nhớ điều kiện A ≥ 0 khi làm việc với √A.
• Khi biểu thức chứa phân số, hãy đảm bảo mẫu số khác 0.
• Luyện tập thường xuyên để nắm vững các dạng bài tập khác nhau.

Chúc bạn thành công trong việc chinh phục các bài toán về căn thức!