Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, và việc nắm vững cách tìm số hạng đầu (u1) và công bội (q) là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn tự tin chinh phục dạng toán này.
Phương Pháp Tìm U1 và Q
Để tìm u1 và q của một cấp số nhân (un), chúng ta thường sử dụng các công thức và tính chất sau:
- Số hạng tổng quát: 𝑢ₙ = 𝑢₁ * q^(n-1)
- Liên hệ giữa các số hạng: 𝑢ₙ = 𝑢ₘ * q^(n-m) (với n > m)
- Tổng n số hạng đầu: Sₙ = 𝑢₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q) (khi q ≠ 1)
Thông thường, đề bài sẽ cho một vài thông tin về cấp số nhân, chẳng hạn như giá trị của một vài số hạng, hoặc mối quan hệ giữa chúng. Từ đó, ta thiết lập hệ phương trình và giải để tìm ra u1 và q.
Hình ảnh minh họa công thức tổng quát tìm số hạng thứ k của cấp số nhân, nhấn mạnh vai trò của u1 và q.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) có u2 = 6 và u4 = 24. Tìm u1 và q.
Giải:
Ta có:
- u2 = u1 * q = 6 (1)
- u4 = u1 * q³ = 24 (2)
Lấy (2) chia (1) ta được: q² = 4 => q = 2 hoặc q = -2
- Nếu q = 2, thay vào (1) ta được u1 = 3
- Nếu q = -2, thay vào (1) ta được u1 = -3
Vậy, ta có hai đáp án: (u1 = 3, q = 2) hoặc (u1 = -3, q = -2).
Hình ảnh minh họa cách thiết lập và giải hệ phương trình từ u2 và u4 để tìm ra công bội q.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 + u3 = 10 và u2 + u4 = 30. Tìm u1 và q.
Giải:
Ta có:
- u1 + u3 = u1 + u1*q² = 10 (1)
- u2 + u4 = u1q + u1q³ = 30 (2)
Từ (1) ta có: u1(1 + q²) = 10
Từ (2) ta có: u1*q(1 + q²) = 30
Lấy (2) chia (1) ta được: q = 3
Thay q = 3 vào (1) ta được: u1(1 + 3²) = 10 => u1 = 1
Vậy, u1 = 1 và q = 3.
Hình ảnh minh họa cách tìm số hạng đầu tiên u1 sau khi đã xác định được công bội q.
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (uₙ) với u₁ = 3 và u₈ = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Giải:
Ta có: u₈ = u₁ q⁷ nên 384 = 3 q⁷
=> q⁷ = 128 => q = 2
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: uₙ = 3 * 2^(n-1)
Ta có: 12288 = 3 * 2^(n-1)
=> 2^(n-1) = 4096 = 2¹²
=> n – 1 = 12
=> n = 13
Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
Hình ảnh minh họa cách xác định vị trí của một số hạng trong cấp số nhân khi biết u1 và q.
Bài Tập Tự Luyện
- Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un), biết: u3 = 12; u5 = 48.
- Cho cấp số nhân (un) với: u2 + u4 = 20 và u3 + u5 = 40. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đã cho.
- Cấp số nhân (un) có u5 = 81 và u8 = 3. Tìm số hạng đầu tiên và công bội q.
- Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: u1 + u3 = 5 và u4 + u6 = 40.
- Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên?
- Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên?
Lời Kết
Việc Tìm U1 Và Q Của Cấp Số Nhân đòi hỏi sự nắm vững công thức và kỹ năng giải hệ phương trình. Bằng cách luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập, bạn sẽ ngày càng tự tin hơn khi đối mặt với dạng toán này. Chúc bạn thành công!
