A. Công thức vàng để tìm tọa độ trọng tâm tam giác
Để giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ trọng tâm tam giác, bạn cần nắm vững công thức sau:
Cho tam giác ABC với các đỉnh có tọa độ A(xA; yA), B(xB; yB) và C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G được xác định như sau:
Ghi nhớ: Tọa độ trọng tâm G bằng trung bình cộng của các tọa độ tương ứng của ba đỉnh.
B. Áp dụng công thức vào giải bài tập – Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy với A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm Tọa độ Trọng Tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Để chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta cần chứng minh chúng không thẳng hàng. Điều này tương đương với việc hai vectơ AB và AC không cùng phương.
Ta có:
Do tỷ lệ các thành phần tương ứng của hai vectơ này không bằng nhau:
Vậy, A, B, C không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác.
b) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm:
Vậy, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(1; ).
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF với D(-4; 1), E(2; 4) và F(2; -2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
b) Tìm tọa độ điểm K sao cho F là trọng tâm của tam giác DEK.
Lời giải:
a) Tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là:
Vậy H(0; 1).
b) Gọi K(xK; yK). Vì F là trọng tâm tam giác DEK, ta có:
Điều này tương đương với:
Thay số và giải hệ phương trình, ta được:
Vậy K(8; -11).
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C(-2; -4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm BC là M(2; 0). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC nên:
Từ đó suy ra: B(6; 4).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Từ đó suy ra:
Vậy A(-4; 12) và B(6; 4). Đáp án đúng là C.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Lời giải:
Vì C thuộc trục Oy nên C(0; c). Vì G thuộc trục Ox nên G(g; 0).
G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
Từ đó suy ra:
Vậy C(0; 4). Đáp án đúng là A.
Ví dụ 5: Cho M(2; 0), N(2; 2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm B.
Lời giải:
Gọi A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Vì M là trung điểm của BC nên:
(1)
N là trung điểm của AC nên:
(2)
P là trung điểm của AB nên:
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3), ta được:
Từ đó suy ra:
Vậy tọa độ trọng tâm G là:
Ta có:
Suy ra:
Vậy B(-1; 1). Đáp án đúng là C.
C. Bài tập tự luyện để nắm vững kiến thức
Hãy tự mình giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về tìm tọa độ trọng tâm tam giác:
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(1; 4), C(5; 7). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1; 5), B(–1; 3), C(2; 6). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3. Tam giác ABC có C(2; 3), trọng tâm G(0; 2), trung điểm BC là M(–2; 1). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Bài 4. Cho tam giác ABC có A(2; –2), B(3; 5) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 5. Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(2; 6) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1; 6), B(3; 5), C(–1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 7. Cho tam giác ABC có A(–2; 5), B(2; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 8. Tam giác ABC có C(1; 1), trọng tâm G(3; 2), trung điểm BC là M(0; 6). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Bài 9. Cho tam giác ABC có A(1; 7), B(2; –3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 10. Cho tam giác ABC có A(5; 8), B(–2; 3) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Chúc các bạn học tốt và chinh phục thành công các bài toán liên quan đến tọa độ trọng tâm tam giác!
