Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp Tìm Tọa độ Tâm đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác Abc, một bài toán thường gặp trong chương trình hình học giải tích. Chúng ta sẽ đi qua các bước giải cụ thể, kèm theo ví dụ minh họa để bạn đọc dễ dàng nắm bắt.
Bài toán: Cho tam giác ABC với A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4). Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Tuy nhiên, để đơn giản, ta chỉ cần tìm giao điểm của hai đường trung trực bất kỳ. Điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp, có tính chất IA = IB = IC (bán kính đường tròn). Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp đại số để tìm tọa độ điểm I.
Giải chi tiết:
-
Gọi tọa độ tâm I: Giả sử I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
Thiết lập phương trình: Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp nên IA = IB = IC. Từ đó suy ra IA² = IB² = IC². Ta sẽ sử dụng hai phương trình IA² = IB² và IA² = IC² để tìm x và y.
-
Tính IA², IB², IC²:
- IA² = (x + 1)² + (y – 1)²
- IB² = (x – 3)² + (y – 1)²
- IC² = (x – 2)² + (y – 4)²
-
Giải hệ phương trình:
Từ IA² = IB², ta có:
(x + 1)² + (y – 1)² = (x – 3)² + (y – 1)²
<=> x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1
<=> 8x = 8
<=> x = 1
Từ IA² = IC², ta có:
(x + 1)² + (y – 1)² = (x – 2)² + (y – 4)²
<=> (1 + 1)² + (y – 1)² = (1 – 2)² + (y – 4)² (vì x = 1)
<=> 4 + y² – 2y + 1 = 1 + y² – 8y + 16
<=> 6y = 12
<=> y = 2
- Kết luận: Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(1; 2).
Lưu ý:
- Phương pháp này có thể áp dụng cho mọi tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh.
- Việc chọn hai phương trình nào (IA² = IB², IB² = IC², hoặc IA² = IC²) không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Mở rộng:
Ngoài phương pháp trên, bạn có thể sử dụng phương trình đường trung trực để giải bài toán này. Cách làm này phức tạp hơn nhưng giúp hiểu rõ hơn về bản chất hình học của bài toán.
Ví dụ về cách thiết lập phương trình đường tròn ngoại tiếp, với tâm I(x, y) và đi qua ba điểm A, B, C.
Ứng dụng:
Việc tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp có nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tam giác, đa giác, và đường tròn, đặc biệt trong các bài toán về hình học phẳng và hình học giải tích. Nó cũng là kiến thức nền tảng quan trọng cho các bài toán phức tạp hơn trong chương trình toán học phổ thông và cao cấp.