Việc xác định tiệm cận của đồ thị hàm số là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức, phương pháp và ví dụ minh họa chi tiết để bạn nắm vững cách Tìm Tiệm Cận đứng Và Ngang của đồ thị hàm số một cách hiệu quả nhất.
1. Công Thức và Định Nghĩa Tiệm Cận
Để tìm tiệm cận đứng và ngang chính xác, ta cần nắm vững các định nghĩa và công thức sau:
a) Tiệm Cận Ngang (TCN)
Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra:
- lim x→+∞ f(x) = y₀
- lim x→-∞ f(x) = y₀
b) Tiệm Cận Đứng (TCĐ)
Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau xảy ra:
- lim x→x₀+ f(x) = +∞
- lim x→x₀+ f(x) = -∞
- lim x→x₀– f(x) = +∞
- lim x→x₀– f(x) = -∞
c) Tiệm Cận Xiên
Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
- lim x→+∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
- lim x→-∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
Để xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b, ta có thể áp dụng công thức:
Alt: Công thức toán học biểu diễn cách tìm hệ số a và b trong phương trình tiệm cận xiên y = ax + b, bao gồm a bằng giới hạn của f(x)/x khi x tiến tới vô cực, và b bằng giới hạn của f(x) – ax khi x tiến tới vô cực, hỗ trợ việc giải bài tập tìm tiệm cận.
Chú ý quan trọng: Đối với hàm phân thức y = (ax + b) / (cx + d), ta có thể nhanh chóng xác định:
- Tiệm cận ngang: y = a/c
- Tiệm cận đứng: x = -d/c
2. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Tiệm Cận Đứng và Ngang
Để hiểu rõ hơn về cách tìm tiệm cận đứng và ngang, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) y = (x + 1) / (x – 2)
b) y = (3 – 2x) / (3x + 1)
Lời giải:
a) Hàm số y = (x + 1) / (x – 2)
-
Tập xác định: D = ℝ {2}
-
Tìm tiệm cận ngang: lim x→±∞ (x + 1) / (x – 2) = 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
-
Tìm tiệm cận đứng: Do lim x→2+ (x + 1) / (x – 2) = +∞ và lim x→2– (x + 1) / (x – 2) = -∞, nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng.
b) Hàm số y = (3 – 2x) / (3x + 1)
-
Tập xác định: D = ℝ {-1/3}
-
Tìm tiệm cận ngang: lim x→±∞ (3 – 2x) / (3x + 1) = -2/3. Vậy đường thẳng y = -2/3 là tiệm cận ngang.
-
Tìm tiệm cận đứng: Do lim x→(-1/3)+ (3 – 2x) / (3x + 1) = +∞ và lim x→(-1/3)– (3 – 2x) / (3x + 1) = -∞, nên đường thẳng x = -1/3 là tiệm cận đứng.
Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị các hàm số sau:
a) y = (x² – 12x + 27) / (x² – 4x + 5)
b) y = (2 – x) / (x² – 4x + 3)
Lời giải:
a) y = (x² – 12x + 27) / (x² – 4x + 5)
-
Tập xác định: D = ℝ (vì x² – 4x + 5 > 0 với mọi x). Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
-
Tìm tiệm cận ngang: lim x→±∞ (x² – 12x + 27) / (x² – 4x + 5) = 1. Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
b) y = (2 – x) / (x² – 4x + 3)
-
Tập xác định: D = ℝ {1; 3}
-
Tìm tiệm cận ngang: lim x→±∞ (2 – x) / (x² – 4x + 3) = 0. Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang.
-
Tìm tiệm cận đứng:
- lim x→1– (2 – x) / (x² – 4x + 3) = +∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng.
- lim x→3+ (2 – x) / (x² – 4x + 3) = -∞ nên x = 3 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có TCN là y = 0; TCĐ là x = 1 và x = 3.
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y = (2x² – 3x + 2) / (x – 1)
b) y = x – 3 + 1/x²
Lời giải:
a) y = (2x² – 3x + 2) / (x – 1)
-
Tập xác định: ℝ {1}
-
Tìm tiệm cận đứng: lim x→1– (2x² – 3x + 2) / (x – 1) = -∞; lim x→1+ (2x² – 3x + 2) / (x – 1) = +∞. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
-
Tìm tiệm cận xiên:
- a = lim x→+∞ y/x = lim x→+∞ (2x² – 3x + 2) / (x(x – 1)) = 2
- b = lim x→+∞ (y – 2x) = lim x→+∞ (2x² – 3x + 2) / (x – 1) – 2x = lim x→+∞ (-x + 2) / (x – 1) = -1
Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên.
b) y = x – 3 + 1/x²
-
Tập xác định: ℝ {0}
-
Tìm tiệm cận đứng: lim x→0– (x – 3 + 1/x²) = +∞; lim x→0+ (x – 3 + 1/x²) = +∞. Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
-
Tìm tiệm cận xiên: Ta có lim x→+∞ (y – (x – 3)) = lim x→+∞ 1/x² = 0; lim x→-∞ (y – (x – 3)) = lim x→-∞ 1/x² = 0. Do đó, đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên.
3. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức về cách tìm tiệm cận đứng và ngang, hãy tự luyện tập với các bài tập sau:
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y = x³ – x
b) y = (2x + 3) / (3 – 2x)
c) y = 5x + 5-2
Bài 2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y = (x² + 3x) / (x² – 4)
b) y = (x² – 3x + 2) / (x² – 4x + 5)
c) y = (x + 2) / (x – 2)
Bài 3. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y = (4x + 5) / (x² – 4)
b) y = (-x² + 63) / (3x² + 7)
c) y = (2x² + 3x) / (1 – x)
Bài 4. Đồ thị hàm số y = x / (x² – 3x – 4) + x có bao nhiêu đường tiệm cận?
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x² – mx + 2) / (x² – 1) có đúng 2 đường tiệm cận.
Bài 6. Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được tính theo công thức T = 30x + 200 000 (nghìn đồng).
a) Viết công thức tính chi phí trung bình C(x) của 1 sản phẩm khi sản xuất được x sản phẩm.
b) Xem y = C(x) là một hàm số xác định trên khoảng (0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Nêu nhận xét về chi phí để tạo ra 1 sản phẩm khi x càng lớn.
Kết Luận
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành thạo kỹ năng tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn thành công!
