Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1/3x^3 – mx^2 + (m^2 – 1)x + 2 có cực trị. Chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp giải, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức này.
Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Tham Số m Để Hàm Số Có Cực Trị
Để hàm số có cực trị, chúng ta cần đảm bảo hai điều kiện:
- Điều kiện cần: Đạo hàm bậc nhất của hàm số bằng 0 tại điểm cực trị.
- Điều kiện đủ: Kiểm tra đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định điểm đó là cực đại hay cực tiểu.
Các Bước Thực Hiện Chi Tiết
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số
Tìm y’ theo x.
Bước 2: Giải phương trình y’ = 0
Phương trình này sẽ cho ta các giá trị x mà tại đó hàm số có thể đạt cực trị.
Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số
Tìm y” theo x.
Bước 4: Xét dấu của y” tại các nghiệm của y’ = 0
- Nếu y” > 0, hàm số đạt cực tiểu tại điểm đó.
- Nếu y” < 0, hàm số đạt cực đại tại điểm đó.
- Nếu y” = 0, cần xét dấu của y’ xung quanh điểm đó để kết luận.
Bước 5: Kết luận
Xác định các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
-
Tính đạo hàm bậc nhất:
y’ = 3x² – 6mx + m² – 1
-
Tính đạo hàm bậc hai:
y” = 6x – 6m
-
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên y'(2) = 0
3(2)² – 6m(2) + m² – 1 = 0
<=> m² – 12m + 11 = 0
<=> m = 1 hoặc m = 11 -
Điều kiện đủ: Kiểm tra y”(2)
- Nếu m = 1, y”(2) = 6(2) – 6(1) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (thỏa mãn).
- Nếu m = 11, y”(2) = 6(2) – 6(11) = -54 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 2 (không thỏa mãn).
Ảnh minh họa các bước giải ví dụ 1, tìm giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2
-
Kết luận: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² – (m² + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
-
Tính đạo hàm bậc nhất:
y’ = -3x² + 2(m + 3)x – (m² + 2m) -
Tính đạo hàm bậc hai:
y” = -6x + 2(m + 3) -
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên y'(2) = 0
-3(2)² + 2(m + 3)(2) – (m² + 2m) = 0
<=> -12 + 4m + 12 – m² – 2m = 0
<=> -m² + 2m = 0
<=> m = 0 hoặc m = 2 -
Điều kiện đủ: Kiểm tra y”(2)
- Nếu m = 0, y”(2) = -6(2) + 2(0 + 3) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 2 (thỏa mãn).
- Nếu m = 2, y”(2) = -6(2) + 2(2 + 3) = -2 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 2 (thỏa mãn).
Ảnh minh họa đạo hàm bậc nhất y’ của hàm số ví dụ 2
Ảnh minh họa điều kiện cần để hàm số có cực đại tại x=2 trong ví dụ 2
Ảnh minh họa các giá trị m tìm được từ việc giải phương trình điều kiện cần trong ví dụ 2
-
Kết luận: Vậy m = 0 và m = 2 là các giá trị cần tìm.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm m để hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² – 2m – 1 đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2: Cho hàm số: y = 1/3 x³ – mx² +(m² – m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Bài 3: Cho hàm số y = 1/3 x³ + (m² – m + 2) x² + (3m² + 1)x + m – 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 .
Ảnh minh họa phương trình y'(-2) = 0 để tìm m trong bài tập 2
Ảnh minh họa nghiệm m = 3 thỏa mãn điều kiện cực tiểu tại x=-2 của bài tập 2
Bài 4: Cho hàm số y = 1/3 x³ – (m+1) x² + (m² + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Ảnh minh họa việc giải hệ phương trình để tìm m khi biết x=2 là điểm cực tiểu trong bài tập 3
Bài 5: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m-1)x⁴ – (m² – 2) x² + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.
Ảnh minh họa đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số trong bài tập 4
Ảnh minh họa giải hệ phương trình để tìm giá trị m trong bài tập 4
Bài 6: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Lưu Ý Quan Trọng
- Luôn kiểm tra lại điều kiện đủ sau khi tìm được giá trị của m từ điều kiện cần.
- Khi y” = 0, cần xét dấu của y’ để kết luận về cực trị.
Kết Luận
Việc tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1/3x^3 có cực trị là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia. Nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc bạn thành công!
