Bài toán Tìm Tất Cả Các Giá Trị Thực Của Tham Số M để Hàm Số thỏa mãn một điều kiện nào đó, ví dụ như nghịch biến trên một khoảng cho trước, là một dạng toán quen thuộc trong chương trình phổ thông và thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng. Dưới đây là một ví dụ minh họa cách giải quyết dạng bài toán này:
Đề bài: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx – 4m – x nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Lời giải:
Để hàm số y = mx – 4m – x nghịch biến trên khoảng (-3; 1), ta cần xác định điều kiện của tham số m. Đầu tiên, ta biến đổi hàm số đã cho về dạng tường minh hơn:
y = (m – 1)x – 4m
Hàm số này là hàm số bậc nhất, và để nó nghịch biến trên khoảng (-3; 1) (hoặc trên toàn bộ tập số thực), hệ số góc của nó phải âm. Tức là:
m – 1 < 0
Từ đó suy ra:
m < 1
Vậy, tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx – 4m – x nghịch biến trên khoảng (-3; 1) là m < 1.
{width=344 height=401}Phân tích: Hình ảnh trình bày lời giải chi tiết, sử dụng đạo hàm để xác định khoảng nghịch biến của hàm số và từ đó suy ra điều kiện của tham số m. “Giải bài toán tìm m để hàm số nghịch biến bằng cách xét hệ số góc” mô tả phương pháp giải toán được thể hiện trong hình.
Các bước giải tổng quát cho bài toán tìm m để hàm số đơn điệu:
- Tính đạo hàm: Tính đạo hàm y’ của hàm số đã cho.
- Xác định điều kiện:
- Để hàm số đồng biến trên khoảng (a; b), ta cần y’ ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b).
- Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b), ta cần y’ ≤ 0 với mọi x thuộc (a; b).
- Giải bất phương trình: Giải bất phương trình y’ ≥ 0 hoặc y’ ≤ 0 để tìm ra các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.
- Kiểm tra điều kiện cần và đủ: Đảm bảo rằng các giá trị của m tìm được thực sự làm cho hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng đã cho. Đôi khi, cần loại bỏ các giá trị m khiến cho y’ = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng đang xét, nhưng không làm thay đổi tính đơn điệu của hàm số.
- Kết luận: Kết luận về tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Lưu ý:
- Đối với hàm số bậc hai, việc xét dấu của đạo hàm thường đơn giản hơn vì đạo hàm là một hàm bậc nhất.
- Đối với các hàm số phức tạp hơn, việc giải bất phương trình có thể đòi hỏi các kỹ năng và phương pháp khác nhau.
- Luôn kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin hơn khi gặp các bài toán tương tự trong các kỳ thi.
