Việc tìm số hạng thứ n của một dãy số là một bài toán quen thuộc trong chương trình toán học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tổng quát, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này.
1. Công Thức Tìm Số Hạng Thứ N Của Dãy Số
Để Tìm Số Hạng Thứ N Của Dãy Số, chúng ta cần xác định quy luật của dãy số đó. Dưới đây là công thức áp dụng cho dãy số cách đều:
a. Dãy số tăng dần:
- Số hạng thứ n = Số hạng đầu + (n – 1) * Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp
b. Dãy số giảm dần:
- Số hạng thứ n = Số hạng đầu – (n – 1) * Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp
Công thức tổng quát giúp tìm số hạng thứ n, thể hiện mối quan hệ giữa vị trí và giá trị trong dãy số.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,… Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Giải:
- Đây là dãy số chẵn, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 2.
- Số hạng đầu là 2.
- Áp dụng công thức: Số hạng thứ 100 = 2 + (100 – 1) * 2 = 2 + 198 = 200
Vậy số hạng thứ 100 của dãy là 200.
Ví dụ 2: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, … Hỏi số hạng thứ 50 của dãy là số nào?
Giải:
Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.
Hình ảnh này minh họa cách tính số hạng thứ 50 của dãy số lẻ, dựa vào khoảng cách đều giữa các số.
50 số hạng thì có số khoảng cách là:
50 – 1 = 49 (khoảng cách)
49 số có số đơn vị là:
49 x 2 = 98 (đơn vị)
Số cuối cùng là:
1 + 98 = 99
Đáp số: Số hạng thứ 50 của dãy là 99
Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …, 24, 27, 30
Biết rằng dãy số có 10 số hạng.
Giải:
10 số hạng thì có số khoảng cách là:
10 – 1 = 9 (khoảng cách)
Tổng khoảng cách là:
3 x 9 = 27
Số hạng đầu tiên của dãy là:
30 – 27 = 3
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Tìm số hạng thứ 200 của dãy 1, 4, 7, 10, 13 ….
Bài 2: Tìm số thứ 100 của dãy số sau: 4, 8, 12, 16,…
Bài 3: Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?
Bài 4: Tìm số hạng thứ 300 của dãy: 1; 3; 7; 13; 21; 31; …
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
Cách 1:
Nhận xét:
– Số thứ nhất: 1 = 1 + 3 x 0
– Số thứ hai: 4 = 1 + 3 x 1
– Số thứ ba: 7 = 1 + 3 x 2
– Số thứ tư: 10 = 1 + 3 x 3
Số thứ năm: 13 = 1 + 3 x 4 …
Quy luật: Mỗi số đều bằng tổng của 1 và tích của 3 nhân với số liên trước số thứ tự của nó
– Vậy số thứ 200 là: 1 + 3 x 199 = 598
Cách 2:
Quy luật: Mỗi số liền sau bằng số đằng sau bằng số đằng trước nó cộng thêm 3.
Từ số thứ nhất đến số thứ 200 sẽ có 199 khoảng cách 3 đơn vị.
Vậy số thứ 100 là: 1 + 199 x 3 = 598
Hình ảnh trực quan giúp nhận biết quy luật của dãy số và áp dụng công thức tính số hạng thứ n.
Bài 2:
Cách 1:
Nhận xét:
– Số thứ nhất: 4 = 4 x 1
– Số thứ hai: 8 = 4 x 2
– Số thứ ba: 12 = 4 x 3
– Số thứ tư: 16 = 4 x 4 …
Quy luật: Mỗi số đều bằng số nhân với số thứ tự của nó.
– Vậy số thứ 100 là: 4 x 100 = 400
Cách 2:
Quy luật: Mỗi số liên sau bằng số đằng sau bằng số đằng trước nó cộng thêm 4.
Từ số thứ nhất đến số thứ 100 sẽ có 99 khoảng cách 4 đơn vị.
Vậy số thứ 100 là: 4 + 99 x 4 = 4 x 100 = 400
Bài 3:
2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
20 số lẻ có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách)
19 khoảng cách có số đơn vị là : 19 x 2 = 38 (đơn vị)
Số đầu tiên là : 2001 – 38 = 1963
Đáp số: số đầu tiên là 1963.
Bài 4:
Chú ý: Phải phân tích các số sao cho có mối liên hệ đến số thứ tự của số đó trong dãy thì mới tìm được.
Nhận xét:
– Số thứ nhất: 1 = 1 + 0 x 1
– Số thứ hai: 3 = 1 + 1 x 2
– Số thứ ba: 7 = 1 + 2 x 3
– Số thứ tư: 13 = 1 + 3 x 4
– Số thứ năm: 21 = 1 + 4 x 5
– Số thứ sáu: 31 = 1 + 5 x 6…
Quy luật: Mỗi số đều bằng tổng của 1 và tích của số thứ tự của nó nhân với số liên trước số thứ tự của nó
Vậy số thứ 300 là: 1 + 300 x 299 = 89701
Kết luận
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán tìm số hạng thứ n của dãy số. Chúc các bạn học tốt!
