Để giải quyết các bài toán về cấp số cộng, việc Tìm Số Hạng đầu U1 Và Công Sai D là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức này.
A. Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm u1 và d
Cấp số cộng là một dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số, gọi là công sai d. Để tìm số hạng đầu u1 và công sai d, chúng ta có thể sử dụng các công thức sau:
- Công thức tổng quát: un = u1 + (n−1)d
- Tìm u1 và d khi biết hai số hạng: Nếu biết số hạng thứ n (un) và số hạng thứ m (um) của dãy, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được giá trị của số hạng đầu u1 và công sai d. Đây là một trong những phương pháp quan trọng để tìm số hạng đầu u1 và công sai d khi bài toán cho biết thông tin về các số hạng cụ thể trong dãy.
B. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Số Hạng Đầu u1 và Công Sai d
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15 và u14 = 18. Hãy tìm u1 và d.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức tổng quát, ta có:
- u3 = u1 + 2d = -15
- u14 = u1 + 13d = 18
Từ đó, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình, ta được:
Vậy, u1 = -21 và d = 3.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u2 + u5 = 20 và u3 + u6 = 29. Hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
- u2 = u1 + d
- u5 = u1 + 4d
- u3 = u1 + 2d
- u6 = u1 + 5d
Thay vào các phương trình đã cho, ta được:
- (u1 + d) + (u1 + 4d) = 20 => 2u1 + 5d = 20
- (u1 + 2d) + (u1 + 5d) = 29 => 2u1 + 7d = 29
Giải hệ phương trình này, ta được:
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u1 + u5 = 12 và u1² + u5² = 36. Tìm u1 và d biết u1 > 0.
Hướng dẫn giải:
Từ u1 + u5 = 12, ta có u5 = 12 – u1. Thay vào u1² + u5² = 36, ta được:
u1² + (12 – u1)² = 36
Giải phương trình trên, ta được u1 = 3 hoặc u1 = 9.
Với u1 = 3, ta có u5 = 9 => d = (u5 – u1) / 4 = (9 – 3) / 4 = 1.5
Với u1 = 9, ta có u5 = 3 => d = (u5 – u1) / 4 = (3 – 9) / 4 = -1.5
Vì u1 > 0, cả hai trường hợp đều thỏa mãn. Vậy ta có hai cặp nghiệm (u1 = 3, d = 1.5) và (u1 = 9, d = -1.5).
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn điều kiện: S4 = 20 và S6 = 42. Hãy tìm công sai d của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Theo công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: Sn = n/2 * (2u1 + (n-1)d). Ta có:
- S4 = 4/2 * (2u1 + 3d) = 20 => 2u1 + 3d = 10 (1)
- S6 = 6/2 * (2u1 + 5d) = 42 => 2u1 + 5d = 14 (2)
Từ (1) và (2), trừ vế theo vế, ta được: 2d = 4 => d = 2.
C. Bài Tập Tự Luyện
- Cho cấp số cộng có u1 = -3; u10 = 24. Tìm công sai d?
- Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + 5. Tìm u1 và d.
- Tìm công sai của cấp số cộng thỏa mãn: u1 – u3 + u5 = 10 và u1 + u6 = 17.
- Tìm số hạng u1 và công sai d của cấp số cộng sau, biết: u7 + u15 = 60 và u4² + u12² = 1170.
- Cho cấp số cộng (un) có số hạng thứ 4 (u4) là -20 và số hạng thứ 19 (u19) là 55. Tìm giá trị của u1 và d.
Hy vọng với các phương pháp và ví dụ trên, bạn có thể tự tin tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng trong mọi bài toán. Chúc bạn học tốt!
