Bài viết này tổng hợp kiến thức về phương trình đường thẳng, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Tổng Quan Lý Thuyết
Để hiểu rõ cách Tìm Phương Trình đường Thẳng, ta cần nắm vững các khái niệm và công thức cơ bản sau:
1. Vector Chỉ Phương và Vector Pháp Tuyến
-
Vector chỉ phương (VTCP): Là vector có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.
-
Vector pháp tuyến (VTPT): Là vector có giá vuông góc với đường thẳng.
Lưu ý:
- Một đường thẳng có vô số VTCP và VTPT.
- Nếu biết VTCP, ta có thể dễ dàng tìm được VTPT và ngược lại. Nếu
u = (a, b)là VTCP thìn = (-b, a)là một VTPT. - Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP hoặc VTPT của nó.
2. Các Dạng Phương Trình Đường Thẳng
-
Phương trình tổng quát:
ax + by + c = 0, trong đón = (a, b)là VTPT. -
Phương trình tham số:
x = x0 + at y = y0 + btTrong đó,
(x0, y0)là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng vàu = (a, b)là VTCP. -
Phương trình chính tắc:
(x - x0)/a = (y - y0)/b(vớia ≠ 0vàb ≠ 0). -
Phương trình đoạn chắn:
x/a + y/b = 1, trong đóavàblần lượt là giao điểm của đường thẳng với trục Ox và Oy.
3. Hệ Số Góc của Đường Thẳng
- Đường thẳng
y = kx + bcó hệ số góc làk. Hệ số góc này bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox. - Nếu đường thẳng có VTCP
u = (u1, u2)vớiu1 ≠ 0thì hệ số góck = u2/u1.
4. Vị Trí Tương Đối của Hai Đường Thẳng
Xét hai đường thẳng:
d1: a1x + b1y + c1 = 0d2: a2x + b2y + c2 = 0
Có các trường hợp sau:
- Cắt nhau:
a1/a2 ≠ b1/b2 - Song song:
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 - Trùng nhau:
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 - Vuông góc:
a1a2 + b1b2 = 0
5. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Góc θ giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính bởi công thức:
cos(θ) = |(a1a2 + b1b2) / (√(a1² + b1²) * √(a2² + b2²))|
6. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là:
d(M, d) = |(ax0 + by0 + c) / √(a² + b²)|
B. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Phương Pháp Giải
Dạng 1: Viết Phương Trình Đường Thẳng Khi Biết Các Yếu Tố
- Biết một điểm và một VTCP (hoặc VTPT): Sử dụng phương trình tham số (hoặc phương trình tổng quát).
- Biết hai điểm: Tìm VTCP bằng cách lấy vector chỉ phương tạo bởi hai điểm đó, sau đó sử dụng phương trình tham số hoặc tổng quát.
- Biết hệ số góc và một điểm: Sử dụng phương trình
y - y0 = k(x - x0). - Biết giao điểm với hai trục tọa độ: Sử dụng phương trình đoạn chắn.
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(1, 2) và có VTPT n = (3, -4).
Giải:
Phương trình tổng quát: 3(x - 1) - 4(y - 2) = 0 => 3x - 4y + 5 = 0.
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua B(0, -1) và có VTCP u = (2, 5).
Giải:
Phương trình tham số:
x = 0 + 2t
y = -1 + 5tDạng 2: Xét Vị Trí Tương Đối của Hai Đường Thẳng
So sánh tỉ lệ các hệ số của hai đường thẳng để xác định mối quan hệ giữa chúng (cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc).
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
d1: 2x - y + 1 = 0d2: 4x - 2y + 3 = 0
Giải:
Ta có: 2/4 = -1/-2 ≠ 1/3. Vậy d1 song song với d2.
Dạng 3: Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng dựa vào VTPT hoặc hệ số góc của chúng.
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng:
d1: x + y - 2 = 0d2: x - y + 1 = 0
Giải:
cos(θ) = |(1*1 + 1*(-1)) / (√(1² + 1²) * √(1² + (-1)²))| = 0 => θ = 90°.
Dạng 4: Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Sử dụng công thức tính khoảng cách.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 1) đến đường thẳng d: 3x + 4y - 5 = 0.
Giải:
d(M, d) = |(3*1 + 4*1 - 5) / √(3² + 4²)| = |2/5| = 0.4.
C. Bài Tập Tự Luyện
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A(2, 3)vàB(-1, 4). - Tìm phương trình đường thẳng song song với
d: x - 2y + 5 = 0và đi qua điểmM(1, 1). - Tính góc giữa hai đường thẳng
d1: y = 2x + 1vàd2: y = -x + 3. - Tìm khoảng cách từ điểm
N(0, 0)đến đường thẳngd: 5x + 12y + 26 = 0.
D. Kết Luận
Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về phương trình đường thẳng. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn học tốt hơn môn Toán.
