Nghiệm của đa thức là một khái niệm quan trọng trong đại số. Hiểu rõ về nghiệm của đa thức giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến phương trình và đồ thị hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết và các dạng bài tập về Tìm Nghiệm Của đa Thức, đặc biệt dành cho học sinh lớp 7.
A. Lý Thuyết Về Nghiệm Của Đa Thức
1. Định nghĩa nghiệm của đa thức một biến:
Một số a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu khi thay x = a vào đa thức P(x), ta được P(a) = 0. Nói cách khác, nghiệm của đa thức là giá trị của biến số làm cho đa thức đó bằng không.
Ví dụ 1: Kiểm tra xem x = 1; x = 2; x = -1 có phải là nghiệm của đa thức f(x) = x² - 3x + 2 hay không?
Hướng dẫn giải:
Để kiểm tra, ta lần lượt thay các giá trị của x vào đa thức f(x):
f(1) = 1² - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. Vậyx = 1là nghiệm của đa thức.f(2) = 2² - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. Vậyx = 2là nghiệm của đa thức.f(-1) = (-1)² - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 ≠ 0. Vậyx = -1không là nghiệm của đa thức.
Hình ảnh minh họa cách thay giá trị x để kiểm tra nghiệm của đa thức bậc hai.
Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) = x³ + 2x² + ax + 1. Tìm a để đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.
Hướng dẫn giải:
Vì x = -2 là nghiệm của f(x), nên f(-2) = 0. Thay x = -2 vào đa thức, ta có:
f(-2) = (-2)³ + 2(-2)² + a(-2) + 1 = 0
=> -8 + 8 - 2a + 1 = 0
=> -2a + 1 = 0
=> -2a = -1
=> a = 1/2
Vậy, a = 1/2 thì đa thức f(x) có nghiệm x = -2.
Hình ảnh trình bày cách tìm hệ số a để đa thức bậc ba có nghiệm x = -2.
2. Một số lưu ý quan trọng:
- Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Ví dụ: đa thức bậc nhất có tối đa một nghiệm, đa thức bậc hai có tối đa hai nghiệm,…
- Để tìm nghiệm của đa thức, ta thường giải phương trình
P(x) = 0.
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.
Để tìm nghiệm, ta giải phương trình 2y + 6 = 0.
2y + 6 = 0 => 2y = -6 => y = -3
Vậy, nghiệm của đa thức P(y) là y = -3.
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2.
Hướng dẫn giải:
Ta có: f(1) = a(1)² + b(1) + c = a + b + c = 0 (theo giả thiết).
Vậy, x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) = ax² + bx + c.
Áp dụng cho đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2, ta thấy 8 + (-6) + (-2) = 0. Do đó, x = 1 là một nghiệm của đa thức này.
Hình ảnh minh họa cách chứng minh x=1 là nghiệm khi a+b+c=0 và áp dụng vào bài toán cụ thể.
B. Bài Tập Về Tìm Nghiệm Của Đa Thức
Bài 1: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
a) P(x) = x² + 1
b) Q(y) = 2y⁴ + 5
Lời giải:
a) Vì x² ≥ 0 với mọi x, nên x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x. Do đó, đa thức P(x) = x² + 1 không có nghiệm thực.
b) Vì y⁴ ≥ 0 với mọi y, nên 2y⁴ + 5 ≥ 5 > 0 với mọi y. Do đó, đa thức Q(y) = 2y⁴ + 5 không có nghiệm thực.
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) x² - 2003x - 2004 = 0
b) 2005x² - 2004x - 1 = 0
Lời giải:
a) Nhận thấy rằng hệ số của đa thức thỏa mãn: 1 + (-2003) + (-2004) ≠ 0 nhưng 1 - (-2003) + (-2004) = 0. Do đó, đa thức có một nghiệm là x = -1. Để tìm nghiệm còn lại, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Nhận thấy rằng hệ số của đa thức thỏa mãn: 2005 + (-2004) + (-1) = 0. Do đó, đa thức có một nghiệm là x = 1.
C. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho đa thức f(x) = x² – x – 6
a) Tính giá trị của f(x) tại x = 1, x = 2, x = 3, x = –1, x = –2, x = –3.
b) Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) (x – 3)(x + 3)
b) (x – 2)(x² + 2)
c) 6 – 2x
d) (x³ – 8)(x – 3)
Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
a) 10x² + 3
b) x² + 1
Bài 4: Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² – 7x + c có nghiệm bằng 5.
Bài 5: Lập đa thức một biến trong mỗi trường hợp sau:
a) Chỉ có một nghiệm là −25
b) Vô nghiệm
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên.
Bài 7: Tìm nghiệm các đa thức sau:
a) 3x + 6
b) 2x² – 32
c) 2x + 7 – (x + 14)
d) x² – 6x
Bài 8: Cho đa thức f(x) = x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x + 5. Trong các số sau: 1; −1; 2; −2 số nào là nghiệm của đa thức f(x).
Bài 9: Tìm nghiệm của đa thức:
a) M(x) = (6 – 3x)(−2x + 5)
b) N(x) = x² + x
c) A(x) = 3x – 3
Bài 10: Cho f(x) = 9 – x⁵ + 4x – 2x³ + x² – 7x⁴; g(x) = x⁵ – 9 + 2x² + 7x⁴ + 2x³ – 3x.
a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến
b) Tìm tổng h(x) = f(x) + g(x)
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức về tìm nghiệm của đa thức và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các bạn học tốt!
