A. Lý Thuyết Về Nghiệm Của Đa Thức
1. Định nghĩa nghiệm của đa thức
Trong toán học, việc Tìm Nghiệm của một đa thức là một bài toán quan trọng. Nghiệm của đa thức P(x) là giá trị x = a mà tại đó P(a) = 0. Nói cách khác, khi thay x bằng a vào đa thức, kết quả thu được bằng 0.
Ví dụ 1: Xét đa thức f(x) = x² – 3x + 2. Hãy kiểm tra xem x = 1, x = 2 và x = -1 có phải là nghiệm của đa thức này không.
Hướng dẫn giải:
2. Mở rộng về số lượng nghiệm
Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Điều quan trọng cần nhớ là số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không thể vượt quá bậc của nó. Ví dụ, đa thức bậc nhất chỉ có tối đa một nghiệm, đa thức bậc hai không thể có quá hai nghiệm, và cứ tiếp tục như vậy. Việc tìm nghiệm sẽ trở nên phức tạp hơn khi bậc của đa thức tăng lên.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.
Giải:
Ta có 2y + 6 = 0
=> 2y = -6
=> y = -3
Vậy, nghiệm của đa thức P(y) là -3. Đây là một ví dụ đơn giản về tìm nghiệm của đa thức bậc nhất.
Ví dụ 3: Cho đa thức f(x) = x³ + 2x² + ax + 1. Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 4: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² – 6x – 2.
Hướng dẫn giải:
B. Bài Tập Thực Hành Về Tìm Nghiệm Đa Thức
Bài 1: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm:
a) P(x) = x² + 1
b) Q(y) = 2y⁴ + 5
Lời giải:
a) Vì x² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x, nên x² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Do đó, P(x) = x² + 1 > 0, và đa thức P(x) không có nghiệm thực.
b) Tương tự, vì y⁴ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của y, nên 2y⁴ + 5 luôn lớn hơn hoặc bằng 5. Do đó, Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0, và đa thức Q(y) không có nghiệm thực.
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) x² – 2003x – 2004 = 0
b) 2005x² – 2004x – 1 = 0
Lời giải:
a) Ta nhận thấy rằng tổng các hệ số của đa thức bằng 0 (1 – 2003 – (-2004) = 0). Do đó, đa thức có một nghiệm là x = -1.
b) Tương tự, ta nhận thấy rằng tổng các hệ số của đa thức bằng 0 (2005 – 2004 – 1 = 0). Do đó, đa thức có một nghiệm là x = 1.
Bài 3: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) (x – 3)(x + 3)
b) (x – 2)(x² + 2)
c) 6 – 2x
d) (x³ – 8)(x – 3)
Lời giải:
a) (x – 3)(x + 3) = 0 khi x – 3 = 0 hoặc x + 3 = 0. Vậy nghiệm là x = 3 và x = -3.
b) (x – 2)(x² + 2) = 0 khi x – 2 = 0 hoặc x² + 2 = 0. x² + 2 luôn dương nên x – 2 = 0 là nghiệm duy nhất, vậy x = 2.
c) 6 – 2x = 0 khi 2x = 6. Vậy nghiệm là x = 3.
d) (x³ – 8)(x – 3) = 0 khi x³ – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0. x³ – 8 = 0 khi x = 2, và x – 3 = 0 khi x = 3. Vậy nghiệm là x = 2 và x = 3.
Việc tìm nghiệm của đa thức là một kỹ năng cơ bản và quan trọng trong toán học. Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng.
