Việc xác định miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa là một bài toán quan trọng trong giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp và ví dụ minh họa để bạn có thể dễ dàng nắm vững kiến thức này.
Ví dụ 1: Tìm Miền Hội Tụ Của Chuỗi Lũy Thừa $sumlimits_{n=1}^{+infty } dfrac{x^{n}}{nsqrt[3]{n^{2}}}$.
Để tìm miền hội tụ, ta cần xác định bán kính hội tụ $R$ và xét sự hội tụ tại các đầu mút của khoảng hội tụ.
Hướng dẫn:
-
Xác định $a_n$: Trong trường hợp này, $a_n = dfrac{1}{nsqrt[3]{n^{2}}} = dfrac{1}{n^{5/3}}$.
-
Tính $rho$: Sử dụng công thức:
$$rho = lim{nto +infty } dfrac{left|a{n+1} right|}{left|a{n} right|} = lim{nto +infty } dfrac{n^{5/3}}{(n+1)^{5/3}} = lim_{nto +infty } left(dfrac{n}{n+1}right)^{5/3} = 1 in (0,+infty ).$$ -
Tìm bán kính hội tụ $R$: Vì $rho = 1$, suy ra bán kính hội tụ $R=1$, và khoảng hội tụ là $(-1, 1)$.
-
Xét sự hội tụ tại $x = -1$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{n=1}^{+infty } dfrac{(-1)^{n}}{n^{5/3}}$. Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu).
-
Xét sự hội tụ tại $x = 1$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{n=1}^{+infty } dfrac{1}{n^{5/3}}$. Chuỗi này hội tụ vì là chuỗi Riemann với $alpha = dfrac{5}{3} > 1$.
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $[-1, 1]$.
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sumlimits_{n=1}^{+infty }(-1)^{n} dfrac{x^{n}}{n^{7}}$.
Hướng dẫn:
-
Xác định $a_n$: $a_n = dfrac{(-1)^{n}}{n^{7}}$.
-
Tính $rho$:
$$rho = lim{nto +infty } dfrac{left|a{n+1} right|}{left|a{n} right|} = lim{nto +infty } left(dfrac{n}{n+1}right)^{7} = 1 in (0,+infty ).$$ -
Tìm bán kính hội tụ $R$: Bán kính hội tụ $R = 1$, khoảng hội tụ là $(-1, 1)$.
-
Xét sự hội tụ tại $x = -1$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{n=1}^{+infty } dfrac{1}{n^{7}}$. Chuỗi này hội tụ vì là chuỗi Riemann với $alpha = 7 > 1$.
-
Xét sự hội tụ tại $x = 1$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{n=1}^{+infty } dfrac{(-1)^{n}}{n^{7}}$. Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu).
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $[-1, 1]$.
Ví dụ 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $sumlimits_{{rm n}={rm 1}}^{+infty }left(dfrac{5nx}{n+1}right)^{n}$.
Hướng dẫn:
-
Xác định $a_n$: $a_n = left(dfrac{5n}{n+1}right)^{n}$.
-
Tính $rho$: Sử dụng công thức căn:
$$rho = lim{nto +infty } sqrt[n]{left|a{n} right|} = lim{nto +infty } sqrt[n]{left(dfrac{5n}{n+1}right)^{n}} = lim{nto +infty } dfrac{5n}{n+1} = 5 in (0,+infty ).$$ -
Tìm bán kính hội tụ $R$: Bán kính hội tụ $R = dfrac{1}{5}$, khoảng hội tụ là $left(-dfrac{1}{5}, dfrac{1}{5}right)$.
-
Xét sự hội tụ tại $x = -dfrac{1}{5}$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{{rm n}={rm 1}}^{+infty }(-1)^{n} left(dfrac{n}{n+1}right)^{n}$. Chuỗi này phân kỳ vì $u_n$ không dần tới 0 khi $n to infty$.
-
Xét sự hội tụ tại $x = dfrac{1}{5}$: Ta có chuỗi số: $sumlimits_{{rm n}={rm 1}}^{+infty }left(dfrac{n}{n+1}right)^{n}$. Chuỗi này phân kỳ vì $u_n$ không dần tới 0 khi $n to infty$.
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $left(-dfrac{1}{5}, dfrac{1}{5}right)$.
Qua các ví dụ trên, bạn có thể thấy rằng việc tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đòi hỏi sự kết hợp giữa việc tính toán giới hạn và xét sự hội tụ của chuỗi số tại các đầu mút. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
