Tam thức bậc hai là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT. Một trong những dạng bài tập thường gặp và gây khó khăn cho học sinh là tìm điều kiện của tham số m để tam thức bậc hai luôn dương (hoặc luôn âm). Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết đầy đủ, phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Tam Thức Bậc Hai và Điều Kiện Luôn Dương
Tam thức bậc hai có dạng: f(x) = ax² + bx + c, với a ≠ 0. Để f(x) luôn dương với mọi x thuộc tập số thực (ℝ), ta cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- a > 0: Hệ số a phải dương. Điều này đảm bảo rằng parabol hướng lên trên.
- Δ < 0: Biệt thức Δ = b² – 4ac phải âm. Điều này đảm bảo rằng parabol không cắt trục hoành (không có nghiệm thực), và do đó, luôn nằm phía trên trục hoành.
Hình ảnh minh họa điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương: Parabol mở lên trên (a>0) và không có giao điểm với trục hoành (Δ < 0).
2. Các Trường Hợp Mở Rộng và Lưu Ý Quan Trọng
Ngoài điều kiện f(x) > 0, ta còn có các trường hợp mở rộng sau:
- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ: Điều kiện là a > 0 và Δ ≤ 0 (tam thức có thể có nghiệm kép).
- f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ: Điều kiện là a < 0 và Δ < 0.
- f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ: Điều kiện là a < 0 và Δ ≤ 0.
Lưu ý:
- Khi gặp bài toán chứa tham số m ở hệ số a, cần xét trường hợp a = 0 trước khi áp dụng các điều kiện trên.
- Nắm vững bảng xét dấu tam thức bậc hai để giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng giá trị của x.
Bảng xét dấu tam thức bậc hai: Minh họa rõ ràng sự thay đổi dấu của f(x) tùy thuộc vào giá trị của Δ và hệ số a.
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = x² – 2mx + m + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Giải:
- a = 1 > 0 (luôn đúng)
- Δ’ = (-m)² – (m + 2) = m² – m – 2 < 0
- Giải bất phương trình m² – m – 2 < 0, ta được -1 < m < 2.
Vậy, -1 < m < 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm m để f(x) = (m – 1)x² + 2(m – 1)x + m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Giải:
- Trường hợp 1: m – 1 = 0 => m = 1. Khi đó, f(x) = 4 ≥ 0 (luôn đúng). Vậy m = 1 thỏa mãn.
- Trường hợp 2: m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1. Ta có:
- a = m – 1 > 0 => m > 1
- Δ’ = (m – 1)² – (m – 1)(m + 3) = -4(m – 1) ≤ 0 => m ≥ 1
Kết hợp cả hai điều kiện, ta được m > 1.
Vậy, m ≥ 1 là giá trị cần tìm.
4. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
- Tìm m để f(x) = -x² + 4mx – 4m² + 1 < 0 với mọi x ∈ ℝ.
- Tìm m để f(x) = (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
- Tìm m để f(x) = mx² – 4x + m + 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Lời khuyên:
- Làm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao để làm quen với các dạng toán khác nhau.
- Tham khảo các nguồn tài liệu uy tín và hỏi ý kiến thầy cô khi gặp khó khăn.
- Rèn luyện kỹ năng biến đổi và giải bất phương trình.
Kỹ năng lập bảng xét dấu là vô cùng quan trọng để giải các bài toán liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
5. Kết Luận
Hiểu rõ lý thuyết, nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để chinh phục dạng bài tập “tìm m để tam thức bậc hai luôn dương”. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
