Tìm m để phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt: Bí quyết giải nhanh và bài tập áp dụng

Phương trình trùng phương là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa để giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán Tìm M để Pt Có 4 Nghiệm Pb (phân biệt).

Phương pháp tổng quát

Cho phương trình trùng phương:

ax^4 + bx^2 + c = 0  (a ≠ 0)  (1)

Đặt t = x^2 (t ≥ 0), phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai theo t:

at^2 + bt + c = 0  (2)

Để giải quyết bài toán tìm m để pt có 4 nghiệm pb, ta cần biện luận số nghiệm của phương trình (2) dựa vào điều kiện sau:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này tương đương với việc thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Phương trình (2) có nghiệm (Δ > 0 hoặc Δ’ > 0)
2. Tổng hai nghiệm dương (S > 0)
3. Tích hai nghiệm dương (P > 0)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x^4 – 2(m + 4)x^2 + m^2 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải:

Đặt t = x^2, phương trình (1) trở thành: t^2 – 2(m + 4)t + m^2 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này đồng nghĩa với:

• Δ’ > 0
• S > 0
• P > 0

Ta có:

• Δ’ = (m + 4)^2 – m^2 = 8m + 16
• S = t1 + t2 = 2(m + 4)
• P = t1.t2 = m^2

Vậy, ta cần giải hệ bất phương trình:

{ 8m + 16 > 0
{ 2(m + 4) > 0
{ m^2 > 0

Giải hệ này, ta được:

{ m > -2
{ m > -4
{ m ≠ 0

Kết hợp lại, ta có kết quả: m > -2 và m ≠ 0.

Hình ảnh minh họa điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt, delta lớn hơn 0, tích dương và tổng dương.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (m + 2)x^4 + 3x^2 - 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải:

Đặt t = x^2 (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: (m + 2)t^2 + 3t - 1 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt.

Để (2) là phương trình bậc hai thì m + 2 ≠ 0 hay m ≠ -2.

Khi đó điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:

{Δ > 0
{S > 0
{P > 0

Ta có:

{Δ = 3^2 - 4(m + 2)(-1) = 9 + 4(m + 2) = 4m + 17 > 0
{S = -3/(m + 2) > 0
{P = -1/(m + 2) > 0

Giải hệ bất phương trình:

{m > -17/4
{m < -2
{m < -2

Kết hợp các điều kiện, ta có: -17/4 < m < -2.

Hình ảnh minh họa các điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm dương, bao gồm delta, tổng và tích.

Các trường hợp khác của phương trình trùng phương

Ngoài việc tìm m để pt có 4 nghiệm pb, bạn cũng cần nắm vững các trường hợp khác:

• Phương trình vô nghiệm: Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.
• Phương trình có 1 nghiệm: Phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.
• Phương trình có 2 nghiệm: Phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.
• Phương trình có 3 nghiệm: Phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.

Bài tập tự luyện

1. Tìm m để phương trình x^4 - (m + 3)x^2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
2. Tìm m để phương trình 2x^4 + (m - 1)x^2 + m^2 - 4 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán tìm m để pt có 4 nghiệm pb và các dạng toán liên quan đến phương trình trùng phương. Chúc các bạn thành công!