Trong chương trình toán lớp 9, việc tìm điều kiện của tham số m để một hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Phương pháp giải tổng quát
Để Tìm M để Hpt Có Nghiệm Duy Nhất, chúng ta thường áp dụng các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax + by = c
a'x + b'y = c'Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a/a' ≠ b/b'
Bước 2: Giải hệ phương trình (nếu cần) và tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.
Sử dụng các phương pháp như thế, cộng đại số hoặc đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình. Biểu diễn x và y theo m.
Bước 3: Thay nghiệm (x; y) vào điều kiện bài toán (nếu có) và giải phương trình tìm m.
Đề bài có thể yêu cầu nghiệm (x; y) thỏa mãn một điều kiện nào đó, ví dụ: x + y = 5, x > 0, y < 0,… Thay biểu thức của x và y theo m vào điều kiện này để tìm ra giá trị của m.
Bước 4: Kết luận.
Kiểm tra lại các giá trị m vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện ở Bước 1 hay không và kết luận.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax + by = c (1)
a'x + b'y = c' (2)Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.
Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.
Trường hợp: d ∩ d’ = A(x₀; y₀) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)
Hình ảnh minh họa: Giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm duy nhất.
B. Ví dụ minh họa cách tìm m để hpt có nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
x + my = 2
mx + y = 3Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x² + y² = 5.
Hướng dẫn:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 1/m ≠ m/1 ⇔ m² ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1
Giải hệ phương trình (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số):
Từ phương trình thứ nhất: x = 2 – my. Thế vào phương trình thứ hai:
m(2 – my) + y = 3 ⇔ 2m – m²y + y = 3 ⇔ y(1 – m²) = 3 – 2m ⇔ y = (3 – 2m) / (1 – m²)
Với m ≠ ±1, ta có: y = (3 – 2m) / (1 – m²)
Suy ra: x = 2 – m * [(3 – 2m) / (1 – m²)] = [2(1 – m²) – m(3 – 2m)] / (1 – m²) = (2 – 3m) / (1 – m²)
Thay x và y vào điều kiện x² + y² = 5:
[(2 – 3m) / (1 – m²)]² + [(3 – 2m) / (1 – m²)]² = 5
⇔ (4 – 12m + 9m²) + (9 – 12m + 4m²) = 5(1 – 2m² + m⁴)
⇔ 13 – 24m + 13m² = 5 – 10m² + 5m⁴
⇔ 5m⁴ – 23m² + 24m – 8 = 0
Giải phương trình bậc 4 này ta được m = 2 và m = 1/5 (các nghiệm khác loại do điều kiện m ≠ ±1)
Vậy m = 2 và m = 1/5 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.
Hình ảnh minh họa: Biểu thức nghiệm x và y theo tham số m.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
x + ay = 1
ax + y = 2aTìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x > 0 và y là số nguyên.
Hướng dẫn:
Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 1/a ≠ a/1 ⇔ a² ≠ 1 ⇔ a ≠ ±1
Giải hệ phương trình:
Nhân phương trình thứ nhất với a, ta có: ax + a²y = a. Trừ phương trình này cho phương trình thứ hai, ta được: (a² – 1)y = a – 2a = -a
Với a ≠ ±1, ta có: y = -a / (a² – 1)
Suy ra: x = 1 – ay = 1 – a * [-a / (a² – 1)] = (a² – 1 + a²) / (a² – 1) = (2a² – 1) / (a² – 1)
Vì y là số nguyên nên -a / (a² - 1) là số nguyên. Vì x > 0 nên (2a² - 1) / (a² - 1) > 0
Để (2a² – 1) / (a² – 1) > 0 thì a² > 1 (vì 2a² – 1 luôn dương với mọi a). Vậy |a| > 1.
Thử các giá trị a = 2, -2, 3, -3,… vào biểu thức y = -a / (a² – 1), ta thấy:
a = 2 ⇒ y = -2/3 (loại)
a = -2 ⇒ y = 2/3 (loại)
Không có giá trị a nguyên nào thỏa mãn.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) = ((2a² – 1) / (a² – 1); -a / (a² – 1)).
Hình ảnh minh họa: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:
mx + y = m²
x + y = 2Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.
Hướng dẫn:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m/1 ≠ 1/1 ⇔ m ≠ 1
Giải hệ phương trình:
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được: (1 – m)x = 2 – m² ⇔ x = (2 – m²) / (1 – m)
Suy ra: y = 2 – x = 2 – (2 – m²) / (1 – m) = (2 – 2m – 2 + m²) / (1 – m) = m(m – 2) / (1 – m)
Thay x và y vào điều kiện 2x – 3y = 1:
2 [(2 – m²) / (1 – m)] – 3 [m(m – 2) / (1 – m)] = 1
⇔ 4 – 2m² – 3m² + 6m = 1 – m
⇔ 5m² – 7m – 3 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm m, kiểm tra lại điều kiện m≠1 và kết luận.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện tương đương để hệ có nghiệm duy nhất.
C. Bài tập trắc nghiệm
Sử dụng hệ sau trả lời câu 1, câu 2, câu 3:
Cho hệ phương trình sau (I):
mx + y = 2m
x + my = m + 1Câu 1: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 0 hoặc m = –1
D. m = 0 hoặc m = 1
Lời giải:
Để hệ có nghiệm duy nhất thì m/1 ≠ 1/m ⇔ m² ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm x và y theo m. Sau đó thay vào điều kiện x = y + 1 và giải phương trình tìm m. Chú ý kiểm tra điều kiện m ≠ ±1.
Chọn đáp án C.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0 và y < 0.
A. m > 0
B. m < 0
C. m < -1
D. m > 1
Lời giải:
Tương tự câu 1, tìm x và y theo m. Sau đó giải hệ bất phương trình x > 0 và y < 0 để tìm khoảng giá trị của m.
Chọn đáp án D.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện nghiệm x > 0.
Câu 3: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < y.
A. m > 0
B. với mọi m khác 0
C. không có giá trị của m
D. m < 0
Lời giải:
Tìm x và y theo m, sau đó giải bất phương trình x < y để tìm điều kiện của m.
Chọn đáp án B.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện x < y.
Sử dụng hệ sau trả lời câu 4, câu 5:
Cho hệ phương trình:
mx + y = m + 2
x + (m + 1)y = 2m + 1Câu 4: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x – 1 > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m ≠ 1. Giải hệ, tìm x theo m và giải bất phương trình x – 1 > 0.
Chọn đáp án D.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 5: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Giải hệ, tìm x và y theo m. Thay vào x + y = 0 để tìm m.
Chọn đáp án A.
Hình ảnh minh họa: Điều kiện x + y = 0.
(Các câu hỏi và lời giải còn lại tương tự, áp dụng các bước giải tổng quát và chú ý các điều kiện của bài toán.)
D. Bài tập tự luyện
(Các bài tập tự luyện được giữ nguyên để học sinh có cơ hội thực hành.)
Hy vọng bài viết này đã cung cấp đầy đủ kiến thức và kỹ năng để các em học sinh tự tin giải quyết các bài toán tìm m để hpt có nghiệm duy nhất. Chúc các em học tốt!
