Để giải quyết bài toán tìm tham số m sao cho một hàm số đạt cực tiểu tại một điểm cho trước, chúng ta cần nắm vững kiến thức về điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Dưới đây là phương pháp giải tổng quát và các ví dụ minh họa chi tiết, cùng với bài tập tự luyện để bạn củng cố kiến thức.
Phương pháp tìm m để hàm số đạt cực tiểu
Bước 1: Điều kiện cần
Tính đạo hàm bậc nhất y’ của hàm số.
Để hàm số đạt cực tiểu tại x₀, điều kiện cần là y'(x₀) = 0. Giải phương trình này để tìm ra các giá trị có thể của tham số m.
Bước 2: Điều kiện đủ
Có hai cách để kiểm tra điều kiện đủ:
-
Cách 1: Sử dụng đạo hàm bậc hai:
- Tính đạo hàm bậc hai y” của hàm số.
- Thay giá trị x₀ và các giá trị m tìm được ở bước 1 vào y”.
- Nếu y”(x₀) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
-
Cách 2: Xét dấu đạo hàm bậc nhất:
- Lập bảng biến thiên của y’ xung quanh điểm x₀.
- Nếu y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₀, hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
Kết luận:
Chọn các giá trị của m thỏa mãn cả điều kiện cần và điều kiện đủ.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2. Tìm M để Hàm Số đạt Cực Tiểu tại x = 2.
Giải:
-
Bước 1:
y’ = 3x² – 6mx + m² – 1
y'(2) = 0 ⇔ 3(2)² – 6m(2) + m² – 1 = 0 ⇔ m² – 12m + 11 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 11 -
Bước 2:
y” = 6x – 6m
- Với m = 1, y” = 6x – 6 ⇒ y”(2) = 6 > 0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi m = 1.
- Với m = 11, y” = 6x – 66 ⇒ y”(2) = -54 < 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi m = 11.
Kết luận: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Hình ảnh minh họa điều kiện cần để hàm số bậc 3 đạt cực tiểu tại một điểm, đạo hàm bậc nhất tại điểm đó bằng 0.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² – (m²+2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
Giải:
-
Bước 1:
y’ = -3x² + 2(m+3)x – (m²+2m)
y'(2) = 0 ⇔ -3(2)² + 2(m+3)(2) – (m²+2m) = 0 ⇔ -12 + 4m + 12 – m² – 2m = 0 ⇔ m² – 2m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 2 -
Bước 2:
y” = -6x + 2(m+3)
- Với m = 0, y” = -6x + 6 ⇒ y”(2) = -6 < 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi m = 0.
- Với m = 2, y” = -6x + 10 ⇒ y”(2) = -2 < 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi m = 2.
Kết luận: Vậy m = 0 và m = 2 là các giá trị cần tìm.
Hình ảnh minh họa bước tính đạo hàm bậc nhất của hàm số bậc ba chứa tham số m.
Hình ảnh minh họa việc thiết lập phương trình y’ = 0 để giải tìm tham số m.
Hình ảnh minh họa kết quả của việc giải phương trình bậc hai, tìm ra các giá trị có thể của tham số m.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số y = (1/3)x³ – mx² + (m² – m + 1)x + 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2: Cho hàm số y = (1/3)x³ + (m² – m + 2)x² + (3m² + 1)x + m – 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
Hình ảnh minh họa việc thiết lập điều kiện cần y'(-2) = 0 từ đạo hàm bậc nhất.
Bài 3: Cho hàm số y = (1/3)x³ – (m+1)x² + (m² + 2m)x + 1. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hình ảnh minh họa việc thiết lập điều kiện cần y'(2) = 0 để hàm số đạt cực tiểu.
Bài 4: Tìm m để hàm số y = (m-1)x⁴ – (m² – 2)x² + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.
Hình ảnh minh họa việc tính đạo hàm bậc nhất để tìm điều kiện cần cho hàm số đạt cực trị.
Hình ảnh minh họa việc giải hệ phương trình để tìm giá trị tham số m.
Bài 5: Tìm m để hàm số y = x³/3 + (2m – 1)x² + (m – 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 6: Tìm m để hàm số y = mx³ + 2(m – 1)x² – (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 7: Tìm m để hàm số y = x – 1/(x + m) đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 8: Tìm m để hàm số y = (2x + m)/(x – m) đạt cực đại tại x = -1.
