Bài toán Tìm M để 2 đường Thẳng Cắt Nhau Tại 1 điểm Trên Trục Hoành là một dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và là tiền đề cho các bài toán phức tạp hơn ở cấp THPT. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải quyết dạng bài này một cách chi tiết và dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa.
Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, điểm đó phải thỏa mãn đồng thời phương trình của cả hai đường thẳng và có tung độ bằng 0.
Xét hai đường thẳng có phương trình:
- $y = ax + b$
- $y = cx + d$
Để hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, ta cần tìm giá trị của m sao cho:
- Hai đường thẳng cắt nhau, tức là $a neq c$.
- Giao điểm của hai đường thẳng có tung độ bằng 0.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = cx + d$ cắt nhau khi và chỉ khi $a neq c$. Điều này đảm bảo rằng hai đường thẳng không song song và do đó sẽ có một giao điểm duy nhất.
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Để tìm tọa độ giao điểm, ta giải hệ phương trình sau:
$begin{cases}
y = ax + b
y = cx + d
end{cases}$
Từ hệ phương trình trên, ta có $ax + b = cx + d$, suy ra $x = frac{d-b}{a-c}$.
Thay giá trị x vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y.
Bước 3: Áp dụng điều kiện giao điểm nằm trên trục hoành
Để giao điểm nằm trên trục hoành, tung độ của giao điểm phải bằng 0. Do đó, ta có $y = 0$. Thay $y = 0$ vào một trong hai phương trình ban đầu (hoặc phương trình tìm được ở bước 2) và giải phương trình để tìm mối liên hệ giữa các hệ số.
Bước 4: Giải phương trình tìm m
Từ các điều kiện đã tìm được ở các bước trên, ta giải phương trình để tìm giá trị của m. Sau đó, kiểm tra lại xem giá trị m tìm được có thỏa mãn tất cả các điều kiện ban đầu hay không.
Ví dụ:
Tìm m để hai đường thẳng $y = 2x + (3 + m)$ và $y = 3x + (5 – m)$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Giải:
Bước 1: Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Ta có $a = 2$ và $c = 3$, suy ra $a neq c$. Vậy hai đường thẳng này luôn cắt nhau.
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm
Giải hệ phương trình:
$begin{cases}
y = 2x + (3 + m)
y = 3x + (5 – m)
end{cases}$
Suy ra $2x + (3 + m) = 3x + (5 – m)$.
Vậy $x = 2m – 2$.
Thay $x = 2m – 2$ vào phương trình thứ nhất, ta được:
$y = 2(2m – 2) + (3 + m) = 4m – 4 + 3 + m = 5m – 1$.
Bước 3: Điều kiện giao điểm nằm trên trục hoành
Để giao điểm nằm trên trục hoành, ta có $y = 0$, suy ra $5m – 1 = 0$.
Bước 4: Giải phương trình tìm m
Từ $5m – 1 = 0$, ta có $m = frac{1}{5}$.
Vậy với $m = frac{1}{5}$, hai đường thẳng $y = 2x + (3 + m)$ và $y = 3x + (5 – m)$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Alt text: Minh họa đồ thị hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, thể hiện giao điểm có tọa độ y = 0.
Lưu ý:
- Luôn kiểm tra lại các điều kiện sau khi tìm được giá trị của m để đảm bảo đáp án chính xác.
- Bài toán có thể mở rộng bằng cách yêu cầu tìm m để giao điểm nằm trên một đường thẳng cho trước, hoặc thỏa mãn một điều kiện hình học nào đó.
Nắm vững phương pháp giải bài toán tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan và đạt kết quả cao trong học tập.
