Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 11. Bài viết này sẽ cung cấp các phương pháp giải chi tiết và bài tập minh họa để giúp học sinh nắm vững kiến thức này.
1. Các Phương Pháp Xác Định Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Để Tìm Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng chéo nhau, ta thường quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
Phương pháp 1: Sử dụng mặt phẳng song song
Chọn một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khoảng cách giữa ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên ∆’ đến mặt phẳng (α). Tức là: d(∆, ∆’) = d(∆’, (α)).
Hình ảnh minh họa cách dựng mặt phẳng song song để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, áp dụng kiến thức hình học không gian.
Phương pháp 2: Sử dụng hai mặt phẳng song song
Dựng hai mặt phẳng song song (α) và (β), sao cho (α) chứa đường thẳng a và (β) chứa đường thẳng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β).
Hình ảnh thể hiện hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau, giúp trực quan hóa việc tính khoảng cách.
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung
Đây là phương pháp quan trọng nhất để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
-
Trường hợp 1: Hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆’ và vuông góc với đường thẳng ∆ tại điểm I.
- Bước 2: Trong mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’ tại J.
Khi đó, đoạn thẳng IJ chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và khoảng cách giữa chúng là d(∆, ∆’) = IJ.
Hình ảnh minh họa cách dựng đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng vừa chéo nhau vừa vuông góc, một trường hợp đặc biệt giúp giải bài toán nhanh chóng.
-
Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau.
-
Cách 1:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆’ và song song với đường thẳng ∆.
- Bước 2: Dựng đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống mặt phẳng (α). Để thực hiện, lấy một điểm M bất kỳ trên ∆, dựng đoạn MN vuông góc với (α). Khi đó, đường thẳng d đi qua N và song song với ∆ chính là hình chiếu vuông góc cần tìm.
- Bước 3: Gọi H là giao điểm của d và ∆’. Dựng đường thẳng HK song song với MN.
Khi đó, đoạn thẳng HK là đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(∆, ∆’) = HK = MN.
Hình ảnh mô tả cách tìm đoạn vuông góc chung bằng hình chiếu vuông góc, áp dụng khi hai đường thẳng không vuông góc.
-
Cách 2:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng ∆ tại điểm I.
- Bước 2: Tìm hình chiếu d của đường thẳng ∆’ xuống mặt phẳng (α).
- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng đường thẳng IJ vuông góc với d tại J. Từ J, dựng đường thẳng song song với ∆, cắt ∆’ tại H. Từ H, dựng HM song song với IJ.
Khi đó, HM là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = HM = IJ.
-
Hình ảnh minh họa cách dựng đoạn vuông góc chung bằng hình chiếu trên mặt phẳng vuông góc, một phương pháp hiệu quả trong nhiều bài toán.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√2, cạnh SA = a√2 và vuông góc với mặt đáy.
a) Tính khoảng cách giữa BC và SD.
b) Tính khoảng cách giữa SC và AD.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh hình chóp S.ABCD với các thông số cho trước, phục vụ cho việc giải bài toán tính khoảng cách giữa các cạnh.
a) Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ CD.
Do ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.
Hình ảnh thể hiện các đường vuông góc trong hình chóp, giúp xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách.
Ta có: CD ⊥ SD tại D, CD ⊥ BC tại C.
=> CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
=> d(SD, BC) = CD = 2a.
b) Vì AD // BC mà BC ⊂ (SBC) => AD // (SBC).
Do đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Kẻ AH ⊥ SB tại H.
Có SA⊥ (ABCD) => SA ⊥BC mà BC ⊥ AB => BC ⊥(SAB) => BC ⊥AH.
Lại có AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC).
Do đó d(A, (SBC)) = AH.
Xét ∆SAB vuông tại A, có 1/AH² = 1/SA² + 1/AB² = 1/(2a²) + 1/(2a²) = 1/a² => AH = a.
Vậy d(SC, AD) = a.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, góc DAB = 120°.
a) Tính khoảng cách giữa BD và CC’.
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD’.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh lăng trụ đứng với đáy là hình thoi, hỗ trợ việc hình dung và giải bài toán khoảng cách.
a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.
Xét DABD có BD² = AB² + AD² – 2AB.AD.cos120° = 3a²
=> BD = a√3 => BO = (a√3)/2
Xét DAOB vuông tại O, có AO = √(AB² – BO²) = √(a² – (3a²)/4) = a/2 => AC = a.
Vì CC’ ⊥ (ABCD) => CC’ ⊥ CO mà CO⊥ BD nên CO là đoạn vuông góc chung của BD và CC’.
Do đó d(BD, CC’) = CO = AO = a/2.
b) Trong (BDD’B’) kẻ OE ⊥ BD’ tại E (1).
Vì AC ⊥ BD và AC ⊥ DD’ (DD’ ⊥ (ABCD)) => AC ⊥ (BDD’B’) => AC ⊥OE (2).
Từ (1) và (2), suy ra OE là đoạn vuông góc chung của AC và BD’.
Do đó d(AC, BD’) = OE.
Mà OE = d(O, BD’) = 1/2 d(D, BD’).
Gọi h là khoảng cách từ D đến BD’.
Xét DD’DB vuông tại D, có 1/h² = 1/DD’² + 1/DB² = 1/a² + 1/(3a²) = 4/(3a²) => h = (a√3)/2.
Vậy d(AC, BD’) = (a√3)/4.
3. Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập tự luyện giúp các bạn củng cố kiến thức:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng:
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK.
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH.
D. Các khẳng định trên đều sai.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
A. a√3/2
B. a√2/3
C. a√2/2
D. a√3/3
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
A. 3a/4
B. 2a/3
C. a√3/2
D. a√3
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:
A. a/2
B. a√3
C. a√2/2
D. a√3/3
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng:
A. √3/3
B. √2/2
C. 2√2/5
D. 3√5/7
Bài 6. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là:
A. AA’
B. BD
C. DA’
D. DD’
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:
A. a
B. a/2
C. a√3
D. 2a
Bài 8. Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng:
A. a
B. a√5
C. a√3/2
D. a/2
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
A. a√2/4
B. a/2
C. a√3/3
D. a√2/2
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.
A. ah/√(3a²+h²)
B. ah/√(a²+h²)
C. ah/√(2a²+h²)
D. ah/√(a²+2h²)
