Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp và ví dụ chi tiết để Tìm Họ Nguyên Hàm Của Hàm Số, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
I. Nguyên Hàm và Tính Chất
1. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Định lý:
-
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
-
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.
2. Tính chất của nguyên hàm
-
Tính chất 1: (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C
-
Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.
-
Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
| Nguyên hàm của hàm số sơ cấp | Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x)) |
|---|---|
II. Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm
1. Phương pháp dùng định nghĩa và tính chất
- Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x.
- Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
- Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 2x -1
Lời giải:
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(2x)
Lời giải:
Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^(3x+1)
Lời giải:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x^4 – 3x^2 + 2
Lời giải:
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(3x) + cos(x/2)
Lời giải:
Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1)^3
Lời giải:
Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^(2x) + 1/x
Lời giải:
Bài 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x*sin(x)
Lời giải:
Bài 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x*e^x
Lời giải:
Bài 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = ln(x)
Lời giải:
Bài 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos^2(x)
Lời giải:
Bài 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin^2(x)
Lời giải:
Bài 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = tan(x)
Lời giải:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x – 1)(1 – 5x)(1 – 2x).
Bài 2. Tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = (e^x – 1)^2.
Bài 3. Tìm nguyên hàm: ∫(1−x)sin(x)dx.
Bài 4. Tìm nguyên hàm: ∫(1/(sin(x)+cos(x))^2)dx.
Bài 5. Tìm nguyên hàm: ∫(2x+1)ln(x)dx.
Hy vọng với các phương pháp và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tìm họ nguyên hàm của hàm số. Chúc bạn học tốt!
