Tìm Hình Chiếu Vuông Góc của Điểm Lên Đường Thẳng: Phương Pháp và Bài Tập

Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, việc Tìm Hình Chiếu Vuông Góc Của điểm Lên đường Thẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững kiến thức.

A. Phương Pháp Tìm Hình Chiếu Vuông Góc

Để tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình mặt phẳng: Xác định mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm giao điểm: Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của A trên d.

B. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 1) trên đường thẳng d có phương trình:

(x + 2)/1 = (y - 1)/2 = (z + 1)/-2

Lời giải:

1. Tìm vector chỉ phương của d: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = (1; 2; -2).

2. Viết phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; 1) và vuông góc với d, nên nhận u = (1; 2; -2) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của (P) là:

   1(x - 1) + 2(y - 2) - 2(z - 1) = 0
   <=> x + 2y - 2z - 3 = 0

3. Tìm tọa độ giao điểm H: Gọi H là giao điểm của d và (P). Tọa độ của H có dạng (t – 2; 2t + 1; -2t – 1) và thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P):

   (t - 2) + 2(2t + 1) - 2(-2t - 1) - 3 = 0
   <=> t = 1/9

   Vậy H có tọa độ là ( -17/9; 11/9; -11/9).

Ví dụ 2: Cho điểm M(2; -1; 8) và đường thẳng d:

(x - 1)/2 = (y + 1)/-1 = z/2

Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

Lời giải:

1. Viết phương trình tham số của d: Phương trình tham số của d là:

   x = 1 + 2t
   y = -1 - t
   z = 2t

2. Tìm tọa độ điểm H: Gọi H(1 + 2t; -t – 1; 2t) thuộc d.

3. Tìm vector MH: MH = (2t - 1; -t - 2; 2t - 8).

4. Điều kiện vuông góc: H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi MH vuông góc với vector chỉ phương của d. Tức là tích vô hướng bằng 0:

   MH * u = 0
   <=> 2(2t - 1) - 1(-t - 2) + 2(2t - 8) = 0
   <=> 9t - 16 = 0
   <=> t = 2

   Vậy H(5; -3; 4).

C. Bài Tập Vận Dụng

Câu 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 1; 0) trên đường thẳng d:

(x + 7)/-2 = (y - 7)/1 = (z + 7)/-2

Câu 2: Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z + 2 = 0. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a + b + c?

Câu 3: Cho điểm M(-2; 1; -2) và đường thẳng d:

x/-1 = (y - 2)/-2 = (z + 2)/1

Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d:

(x + 1)/3 = (y - 2)/-1 = (z + 1)/4

và điểm M(-2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

Hi vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng và áp dụng thành công vào giải các bài toán hình học không gian.