Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, việc Tìm Hình Chiếu Của đường Thẳng Lên Mặt Phẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
Phương Pháp Tìm Hình Chiếu
Để tìm phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
-
Tìm mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P):
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d’.
- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) bằng cách lấy tích có hướng của vectơ chỉ phương của d’ và vectơ pháp tuyến của (P).
- Tìm một điểm thuộc d’ (điểm này cũng thuộc (Q)).
- Viết phương trình mặt phẳng (Q).
-
Tìm giao tuyến của (P) và (Q):
- Đường thẳng d là hình chiếu của d’ lên (P) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Để tìm phương trình đường thẳng d, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của (P) và (Q).
Tóm lại: d = (P) ∩ (Q)
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
Ảnh minh họa vị trí tương đối của đường thẳng d’ và mặt phẳng (P) trong không gian, chuẩn bị cho việc tìm hình chiếu.
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
- Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
- Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:
- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có
Ảnh minh họa mặt phẳng (Q) được dựng, thể hiện mối quan hệ vuông góc với (P) và chứa đường thẳng d’.
Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0-
Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết:
Ảnh minh họa đường thẳng d cần tìm hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng (Oxy).
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy).
Vậy d’ có phương trình tham số là:
Ảnh thể hiện phương trình tham số của đường thẳng d’ sau khi chiếu lên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Chọn C.
Lưu ý: Trong trường hợp mặt phẳng là các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz), việc tìm hình chiếu trở nên đơn giản hơn, ta chỉ cần thay đổi tọa độ z, y, hoặc x tương ứng về 0.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
Ảnh minh họa vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, yêu cầu tìm hình chiếu.
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn: Áp dụng các bước đã trình bày ở phần phương pháp giải.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−12=y+5−1=z−34. Viết phương trình của hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng x + 3 = 0?
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x1=y−11=z−2−1 và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0. Hình chiếu vuông góc của d trên (P) là đường thẳng có phương trình là gì?
Kết Luận
Việc tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về vectơ, mặt phẳng và đường thẳng trong không gian. Bằng cách áp dụng phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết thành công các bài toán liên quan đến chủ đề này. Chúc các bạn học tốt!
