Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp và ví dụ chi tiết để giúp học sinh lớp 8 dễ dàng tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức đại số, dựa trên các hằng đẳng thức đáng nhớ.
A. Phương Pháp Tìm GTLN, GTNN Biểu Thức Lớp 8
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức về dạng có chứa bình phương. Dưới đây là một số kiến thức cơ bản cần nắm vững:
-
Hằng đẳng thức (a + b)²: (a + b)² = a² + 2ab + b²
-
Hằng đẳng thức (a – b)²: (a – b)² = a² – 2ab + b²
-
Tính chất:
- Với mọi x, ta có x² ≥ 0. Do đó, (x + a)² ≥ 0 và (x – a)² ≥ 0.
- Nếu A ≥ a thì GTNN của A là a.
- Nếu A ≤ a thì GTLN của A là a.
Các bước thực hiện:
-
Biến đổi biểu thức: Sử dụng các hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng A(x) = (x + a)² + b hoặc A(x) = -(x + a)² + b.
-
Xác định GTLN hoặc GTNN:
- Nếu A(x) = (x + a)² + b, vì (x + a)² ≥ 0 với mọi x, nên A(x) ≥ b. Vậy GTNN của A(x) là b, đạt được khi x = -a.
- Nếu A(x) = -(x + a)² + b, vì -(x + a)² ≤ 0 với mọi x, nên A(x) ≤ b. Vậy GTLN của A(x) là b, đạt được khi x = -a.
Ảnh: Hình minh họa trực quan hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
Lưu ý quan trọng:
- Khi biến đổi biểu thức, cần chú ý đến dấu của hệ số để xác định đúng GTLN hay GTNN.
- Luôn kiểm tra lại xem giá trị x tìm được có thỏa mãn điều kiện bài toán hay không.
Ảnh: Hằng đẳng thức (a+b)^2 với điều kiện để dấu bằng xảy ra, phục vụ tìm GTNN.
Ảnh: Hằng đẳng thức (a-b)^2 và điều kiện dấu bằng, giúp học sinh hiểu rõ khi nào biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
B. Ví Dụ Minh Họa Tìm GTLN, GTNN
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5 – 4x – x².
Giải:
A = 5 – 4x – x² = -(x² + 4x) + 5 = -(x² + 4x + 4) + 5 + 4 = -(x + 2)² + 9
Vì -(x + 2)² ≤ 0 với mọi x, nên A ≤ 9. Vậy GTLN của A là 9, đạt được khi x = -2.
Ảnh: Mô tả cách xác định GTNN của biểu thức khi biểu thức lớn hơn hoặc bằng một giá trị.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2x² – 8x + 15.
Giải:
B = 2x² – 8x + 15 = 2(x² – 4x) + 15 = 2(x² – 4x + 4) – 8 + 15 = 2(x – 2)² + 7
Vì 2(x – 2)² ≥ 0 với mọi x, nên B ≥ 7. Vậy GTNN của B là 7, đạt được khi x = 2.
Ảnh: Cách xác định GTLN của biểu thức khi biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (4)/(x^2 + 2x + 5).
Giải:
Ta có: x² + 2x + 5 = (x² + 2x + 1) + 4 = (x + 1)² + 4
Vì (x + 1)² ≥ 0 với mọi x, nên (x + 1)² + 4 ≥ 4. Do đó, C = (4)/((x + 1)² + 4) ≤ (4)/4 = 1.
Vậy GTLN của C là 1, đạt được khi x = -1.
Ảnh: So sánh giá trị nghịch đảo của hai biểu thức khi biết mối quan hệ giữa chúng.
Ảnh: So sánh giá trị nghịch đảo khi A bé hơn hoặc bằng B và cả hai đều lớn hơn 0.
Ảnh: Tổng bình phương của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
C. Bài Tập Luyện Tập Tìm GTLN, GTNN
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = -3x² + 6x – 5
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x² + 4x + y² – 6y + 15
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = (10)/(x^2 – 4x + 9)
Lời khuyên: Hãy cố gắng tự giải các bài tập trên trước khi tham khảo đáp án. Điều này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
D. Mở Rộng và Nâng Cao
Ngoài việc sử dụng các hằng đẳng thức, đôi khi ta cần kết hợp thêm các kỹ thuật khác như:
- Sử dụng bất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), bất đẳng thức Bunyakovsky…
- Phân tích thành nhân tử: Để đơn giản biểu thức trước khi tìm GTLN, GTNN.
- Đặt ẩn phụ: Để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
Ảnh: Biểu thức phân thức chứa biến x ở mẫu, cần tìm giá trị lớn nhất.
Kết luận:
Việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Bằng cách nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể chinh phục mọi bài toán liên quan đến GTLN, GTNN một cách dễ dàng. Chúc các bạn học tốt!
