Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức toàn diện về Tìm Giới Hạn Của Hàm Số, bao gồm lý thuyết cơ bản, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Lý Thuyết Về Giới Hạn Hàm Số
a) Giới Hạn Của Hàm Số Tại Một Điểm
* Giới hạn hữu hạn:
Cho khoảng K chứa điểm x0. Hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} và xn → x0, ta có: f(xn) → L.
Kí hiệu: lim x→x0 f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.
Alt: Biểu thức toán học thể hiện định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới x0.
Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim x→x0 f(x) = f(x0).
* Giới hạn ra vô cực:
Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → +∞.
Kí hiệu: lim x→x0 f(x) = +∞
Alt: Công thức toán học biểu diễn giới hạn của hàm số f(x) tiến tới dương vô cực khi x dần tới x0.
Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → −∞.
Kí hiệu: lim x→x0 f(x) = −∞
Alt: Phương trình toán học định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) tiến tới âm vô cực khi x tiến dần tới x0.
b) Giới Hạn Của Hàm Số Tại Vô Cực
* Giới hạn ra hữu hạn:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → L.
Kí hiệu: lim x→+∞ f(x) = L.
Alt: Biểu thức toán học thể hiện giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới dương vô cực bằng L.
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → L.
Kí hiệu: lim x→−∞ f(x) = L
Alt: Công thức toán học mô tả giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến âm vô cực bằng L.
* Giới hạn ra vô cực:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).
Kí hiệu: lim x→+∞ f(x) = +∞ (hoặc lim x→+∞ f(x) = −∞)
Alt: Phương trình toán học biểu diễn giới hạn của hàm số f(x) tiến đến vô cực khi x dần tới dương vô cực.
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞; b) có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).
Kí hiệu: lim x→−∞ f(x) = +∞ (hoặc lim x→−∞ f(x) = −∞)
Alt: Công thức toán học thể hiện giới hạn của hàm số f(x) tiến tới vô cực khi x tiến dần tới âm vô cực.
c) Các Giới Hạn Đặc Biệt:
Alt: Bảng liệt kê các giới hạn cơ bản và quan trọng, thường được sử dụng để tính giới hạn của các hàm số phức tạp hơn.
Alt: Các quy tắc và công thức tính giới hạn của các hàm số đơn giản, đặc biệt khi có hằng số.
Alt: Công thức tính giới hạn khi x mũ k tiến tới vô cực, với k là số nguyên dương.
Alt: Các trường hợp giới hạn của x mũ k khi x tiến tới dương và âm vô cực, phân biệt theo k chẵn hay lẻ.
Alt: Công thức tính giới hạn căn bậc hai của x khi x tiến tới dương vô cực.
d) Một Vài Định Lý Về Giới Hạn Hữu Hạn
* Nếu lim x→x0 f(x) = L và lim x→x0 g(x) = M thì:
Alt: Các định lý toán học về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số.
lim x→x0 [f(x) ± g(x)] = L ± M
lim x→x0 [f(x).g(x)] = L.M; nếu c là một hằng số thì lim x→x0 [c.f(x)] = c.L
lim x→x0 f(x)/g(x) = L/M (nếu M ≠ 0)
* Nếu f(x) ≥ 0, lim x→x0 f(x) = L thì lim x→x0 √f(x) = √L
Alt: Công thức toán học biểu diễn giới hạn của căn bậc hai của hàm số f(x) khi x tiến tới x0.
Chú ý:
– Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → +∞ hoặc x → −∞.
– Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
* Nguyên lí kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) với mọi x thuộc K và lim x→x0 g(x) = lim x→x0 h(x) = L thì lim x→x0 f(x) = L
Alt: Bất đẳng thức và biểu thức toán học thể hiện nguyên lý kẹp trong việc xác định giới hạn của hàm số.
e) Quy Tắc Về Giới Hạn Vô Cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)
| lim f(x) | lim g(x) | Kết quả |
|---|---|---|
| L > 0 | +∞ | +∞ |
| −∞ | −∞ | |
| L < 0 | +∞ | −∞ |
| −∞ | +∞ |
Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)/g(x)
| lim f(x) | lim g(x) | Dấu của g(x) | Kết quả |
|---|---|---|---|
| L | ±∞ | Tùy ý | 0 |
| L > 0 | 0 | + | +∞ |
| – | −∞ | ||
| L < 0 | 0 | + | −∞ |
| – | +∞ |
f) Giới Hạn Một Bên
* Giới hạn hữu hạn
– Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0;b),(x0 ∈ R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) những số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.
Khi đó ta viết: lim x→x0+ f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → x0+.
Alt: Biểu thức toán học thể hiện giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x tiến tới x0.
– Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;x0), (x0 ∈ R). Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì (xn) những số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.
Khi đó ta viết: lim x→x0− f(x) = L hoặc f(x) → L khi x → x0−.
Alt: Công thức toán học mô tả giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x tiến gần đến x0.
– Nhận xét:
lim x→x0 f(x) = L ⇔ lim x→x0+ f(x) = lim x→x0− f(x) = L
Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → x0− hoặc x → x0+.
* Giới hạn vô cực
– Các định nghĩa lim x→x0+ f(x) = +∞, lim x→x0+ f(x) = −∞, lim x→x0− f(x) = +∞ và lim x→x0− f(x) = −∞ được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
– Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi +∞ hoặc −∞
2. Các Dạng Bài Tập Về Giới Hạn Hàm Số
Dạng 1: Giới hạn tại một điểm
* Phương pháp giải:
– Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim x→x0 f(x) = f(x0)
– Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:
| lim f(x) | lim g(x) | Dấu của g(x) | Kết quả |
|---|---|---|---|
| L | ±∞ | Tùy ý | 0 |
| L > 0 | 0 | + | +∞ |
| – | −∞ | ||
| L < 0 | 0 | + | −∞ |
| – | +∞ |
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→1 (3x^2 − 2x + 1)
b) lim x→2 (x+1)/(x-1)
Lời giải:
a) lim x→1 (3x^2 − 2x + 1) = 3.(1)^2 − 2.1 + 1 = 2
b) lim x→2 (x+1)/(x-1) = (2+1)/(2-1) = 3
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→0+ 1/x
b) lim x→0− 1/x
Lời giải:
a) Vì x → 0+ nên x > 0. Do đó, lim x→0+ 1/x = +∞
Alt: Phân tích và giải thích cách tính giới hạn của 1/x khi x tiến tới 0 từ phía dương.
b) Vì x → 0- nên x < 0. Do đó, lim x→0− 1/x = −∞
Alt: Giải thích quá trình tìm giới hạn của hàm số 1/x khi x tiến đến 0 từ phía âm.
Dạng 2: Giới hạn tại vô cực
* Phương pháp giải:
– Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất
– Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực
| lim f(x) | lim g(x) | Kết quả |
|---|---|---|
| L > 0 | +∞ | +∞ |
| −∞ | −∞ | |
| L < 0 | +∞ | −∞ |
| −∞ | +∞ |
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→+∞ (2x^2 + x − 1) / (x^2 + 1)
b) lim x→−∞ (x^3 − 3x) / (2x^2 + 1)
Lời giải:
a) lim x→+∞ (2x^2 + x − 1) / (x^2 + 1) = lim x→+∞ (2 + 1/x − 1/x^2) / (1 + 1/x^2) = 2
Alt: Phân tích từng bước để tính giới hạn của biểu thức (2x^2 + x – 1) / (x^2 + 1) khi x tiến tới vô cực.
b) lim x→−∞ (x^3 − 3x) / (2x^2 + 1) = lim x→−∞ (x − 3/x) / (2 + 1/x^2) = −∞
Alt: Cách tìm giới hạn của hàm số (x^3 – 3x) / (2x^2 + 1) khi x dần tới âm vô cực.
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→+∞ √(x^2 + 1) / x
b) lim x→−∞ √(x^2 + 1) / x
Lời giải:
a) lim x→+∞ √(x^2 + 1) / x = lim x→+∞ √(1 + 1/x^2) = 1
Alt: Giải thích chi tiết các bước tính giới hạn của √(x^2 + 1) / x khi x tiến đến dương vô cực.
b) lim x→−∞ √(x^2 + 1) / x = lim x→−∞ -√(1 + 1/x^2) = -1 (vì x<0, √(x^2)=|x|=-x)
Alt: Hướng dẫn từng bước cách tìm giới hạn của hàm số √(x^2 + 1) / x khi x tiến đến âm vô cực, chú ý đến dấu của x.
Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp
* Nguyên lí kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) với mọi x thuộc K và lim x→x0 g(x) = lim x→x0 h(x) = L thì lim x→x0 f(x) = L
Alt: Mô tả bằng công thức toán học về việc sử dụng nguyên lý kẹp để tìm giới hạn của một hàm số.
* Phương pháp giải:
Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho lim x→x0 g(x) = lim x→x0 h(x)
Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:
−1 ≤ sin x ≤ 1
−1 ≤ cos x ≤ 1
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:
a) lim x→+∞ sin(x) / x
b) lim x→+∞ cos(x) / x^2
Lời giải:
a) Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 => -1/x ≤ sin(x) / x ≤ 1/x
Mà lim x→+∞ -1/x = lim x→+∞ 1/x = 0
Alt: Minh họa cách áp dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của hàm số sin(x)/x khi x tiến tới vô cực.
b) Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 => -1/x^2 ≤ cos(x) / x^2 ≤ 1/x^2
Mà lim x→+∞ -1/x^2 = lim x→+∞ 1/x^2 = 0
Alt: Giải thích việc sử dụng nguyên lý kẹp để xác định giới hạn của cos(x)/x^2 khi x tiến tới vô cực.
Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số: lim x→0 x.sin(1/x)
Lời giải:
Ta có: −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 => -|x| ≤ x.sin(1/x) ≤ |x|
Mà lim x→0 -|x| = lim x→0 |x| = 0
Alt: Hướng dẫn cách dùng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của x nhân với sin(1/x) khi x tiến về 0.
Dạng 4: Giới hạn dạng vô định 0/0
Nhận biết dạng vô định 0/0: Tính lim x→x0 f(x)/g(x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0.
* Phương pháp giải:
Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).
* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).
Khi đó lim x→x0 f(x)/g(x) = lim x→x0 f1(x)/g1(x), nếu giới hạn này có dạng 0/0 thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.
Các lượng liên hợp:
(√a − √b)(√a + √b) = a − b
(a − b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 − b^3
(a + b)(a^2 − ab + b^2) = a^3 + b^3
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:
Nếu lim x→x0 √f(x) − √g(x) thì ta phân tích: √f(x) − √g(x) = (√f(x) − √k) + (√k − √g(x))
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→1 (x^2 − 1) / (x − 1)
b) lim x→2 (x^2 − 3x + 2) / (x − 2)
Lời giải:
a) lim x→1 (x^2 − 1) / (x − 1) = lim x→1 (x − 1)(x + 1) / (x − 1) = lim x→1 (x + 1) = 2
Alt: Các bước giải chi tiết để khử dạng vô định 0/0 bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
b) lim x→2 (x^2 − 3x + 2) / (x − 2) = lim x→2 (x − 2)(x − 1) / (x − 2) = lim x→2 (x − 1) = 1
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→0 (√(x + 1) − 1) / x
b) lim x→1 (√(x) − 1) / (x − 1)
Lời giải:
a) lim x→0 (√(x + 1) − 1) / x = lim x→0 ((√(x + 1) − 1)(√(x + 1) + 1)) / (x(√(x + 1) + 1))
= lim x→0 (x + 1 − 1) / (x(√(x + 1) + 1)) = lim x→0 1 / (√(x + 1) + 1) = 1/2
Alt: Hướng dẫn chi tiết cách khử dạng vô định 0/0 khi tính giới hạn của hàm số chứa căn bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.
b) lim x→1 (√(x) − 1) / (x − 1) = lim x→1 ((√(x) − 1)(√(x) + 1)) / ((x − 1)(√(x) + 1))
= lim x→1 (x − 1) / ((x − 1)(√(x) + 1)) = lim x→1 1 / (√(x) + 1) = 1/2
Alt: Phân tích chi tiết cách áp dụng lượng liên hợp để giải bài toán tìm giới hạn của hàm số có căn thức.
Dạng 5: Giới hạn dạng vô định ∞/∞
Nhận biết dạng vô định ∞/∞: lim x→∞ f(x)/g(x)
* Phương pháp giải:
– Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).
– Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→+∞ (3x^2 + x − 2) / (2x^2 − 1)
b) lim x→−∞ (x^3 + 2x) / (x^2 − x + 1)
Lời giải:
a) lim x→+∞ (3x^2 + x − 2) / (2x^2 − 1) = lim x→+∞ (3 + 1/x − 2/x^2) / (2 − 1/x^2) = 3/2
Alt: Các bước biến đổi để tìm giới hạn của hàm số phân thức khi x tiến tới vô cực, dạng vô định ∞/∞.
b) lim x→−∞ (x^3 + 2x) / (x^2 − x + 1) = lim x→−∞ (x + 2/x) / (1 − 1/x + 1/x^2) = −∞
Alt: Giải thích cách tính giới hạn của hàm phân thức khi x tiến tới âm vô cực và xuất hiện dạng vô định.
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim x→+∞ √(x^2 + x + 1) / (2x − 1)
b) lim x→−∞ √(x^2 + x + 1) / (2x − 1)
Lời giải:
a) lim x→+∞ √(x^2 + x + 1) / (2x − 1) = lim x→+∞ √(1 + 1/x + 1/x^2) / (2 − 1/x) = 1/2
Alt: Cách xử lý và tính giới hạn của hàm số có chứa căn bậc hai khi x tiến tới dương vô cực.
b) lim x→−∞ √(x^2 + x + 1) / (2x − 1) = lim x→−∞ -√(1 + 1/x + 1/x^2) / (2 − 1/x) = -1/2
*Alt: Các bước