Tìm Giao Điểm của Đường Thẳng và Mặt Phẳng: Phương Pháp Giải Chi Tiết và Bài Tập Vận Dụng

A. Phương Pháp Tìm Giao Điểm

Để tìm giao điểm của một đường thẳng d và một mặt phẳng (P) trong không gian, chúng ta có hai phương pháp chính:

• Cách 1: Sử dụng mặt phẳng chứa đường thẳng và giao tuyến có sẵn:

  • Nếu bài toán cho sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P).
  • Tìm giao điểm A của đường thẳng d và đường thẳng a trong mặt phẳng (Q).
  • Điểm A chính là giao điểm cần tìm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

• Cách 2: Sử dụng mặt phẳng phụ (Q):

  • Chọn một mặt phẳng phụ (Q) chứa đường thẳng d sao cho việc tìm giao tuyến của (Q) và (P) trở nên đơn giản.
  • Xác định giao tuyến a của hai mặt phẳng (P) và (Q).
  • Tìm giao điểm A của đường thẳng d và giao tuyến a.
  • Điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Hình ảnh minh họa cách tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng cách sử dụng mặt phẳng phụ (Q) chứa d và tìm giao tuyến a giữa (P) và (Q).

B. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

Lời giải:

• Cách 1:

  • Chọn mặt phẳng phụ (BCD) chứa CD.
  • NP không song song với CD, do đó NP cắt CD tại E.
  • E ∈ NP nên E ∈ (MNP).
  • Vậy, giao điểm của CD và (MNP) là E.

• Cách 2:

  • NP ⊂ (BCD) => NP và CD đồng phẳng.
  • Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂ (MNP).
  • Vậy CD ∩ (MNP) = E.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD).

Lời giải:

Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD với E, F lần lượt là trung điểm AB, CD và G là trọng tâm tam giác BCD, giúp hình dung vị trí các điểm và đường thẳng trong không gian.

• G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF).
• E là trung điểm của AB nên E ∈ (ABF).
• Chọn mặt phẳng phụ (ABF) chứa EG.
• Giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF.
• Trong mặt phẳng (ABF), gọi M là giao điểm của EG và AF.
• Vậy giao điểm của EG và (ACD) là M.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Xác định mối quan hệ giữa IA và IM.

Lời giải:

Hình ảnh minh họa hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC và I là giao điểm của AM và (SBD), thể hiện rõ các yếu tố của bài toán.

• Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.
• Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD).
• Suy ra I = AM ∩ (SBD).
• Tam giác SAC có M; O lần lượt là trung điểm của SC và AC.
• I là giao điểm của AM và SO. => I là trọng tâm tam giác SAC.
• AI = 2/3 AM và IA = 2.IM.
• Vậy: IA→ = -2IM→.

Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

Lời giải:

Hình ảnh minh họa tứ giác ABCD với giao điểm O của AC và BD, cùng điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD), hỗ trợ việc hình dung bài toán.

• Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
• Tìm giao tuyến của (SBD) và (ABM).
• B ∈ (SBD) ∩ (ABM).
• Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.
• Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.
• K ∈ SO ⊂ (SBD) và K ∈ AM ⊂ (ABM) => K ∈ (SBD) ∩ (ABM).
• Vậy: giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK.
• Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK.
• => N là giao điểm của SD và (ABM).

Ví dụ 5: Cho 4 điểm A, B, C và S không cùng thuộc 1 mặt phẳng. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK). Xác định vị trí của điểm E trên đường thẳng BC.

Lời giải:

Hình ảnh minh họa bốn điểm A, B, C và S không cùng thuộc một mặt phẳng, giúp người đọc hình dung bài toán trong không gian.

• Chọn mặt phẳng phụ (ABC) chứa BC.
• Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK).
• H ∈ (ABC) ∩ (IHK).
• Trong mặt phẳng (SAC), do IK không song song với AC nên gọi giao điểm của IK và AC là F. Ta có F ∈ AC ⊂ (ABC) và F ∈ IK ⊂ (IHK) => F ∈ (ABC) ∩ (IHK).
• Vậy: HF = (ABC) ∩ (IHK).
• Trong mặt phẳng (ABC), gọi E là giao điểm của HF và BC.
• E ∈ HF ⊂ (IHK) và E ∈ BC => giao điểm của BC và (IHK) là E.
• => E nằm giữa B và C.

Ví dụ 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB; AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Xác định mặt phẳng không chứa điểm I.

Lời giải:

Hình ảnh minh họa vị trí tương đối của bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng, giúp người đọc dễ dàng hình dung đề bài.

• I là giao điểm của MN và BD nên:
  • I ∈ BD => I ∈ (BCD), (ABD).
  • I ∈ MN => I ∈ (CMN).
• Vậy điểm I không thuộc mặt phẳng (ACD).

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

Lời giải:

Hình ảnh minh họa hình chóp tứ giác S.ABCD với các điểm M, N trên các cạnh SC, BC và các giao điểm O, J, I, giúp người đọc hình dung rõ ràng các yếu tố của bài toán.

• Trong mp (SBD), gọi K = IJ ∩ SD.
• I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN) => IJ ⊂ (AMN).
• Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) => K ∈ (AMN).
• Vậy K = SD ∩ (AMN).

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với (SBD) ?

Lời giải:

• Chọn mp(SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)
• Có S ∈ (SAK) ∩ (SBD).

Hình ảnh minh họa hình thang ABCD với các giao điểm E, O và các điểm I, K trên SA, BC, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học của bài toán.

• Trong mp(ABCD) có:

Hình ảnh minh họa chi tiết các điểm và đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy của hình chóp, hỗ trợ việc tìm giao điểm trong không gian.

• Vậy giao điểm của IK và (SBD) là giao điểm của IK và SE.

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P; Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số: SA/SD

Lời giải:

Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD với P, Q, R là các điểm trên các cạnh và S là giao điểm của (PQR) và AD, giúp người đọc dễ dàng hình dung và phân tích bài toán.

• Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

Hình ảnh minh họa tam giác BCD bị cắt bởi đường thẳng IR, thể hiện rõ mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng trong không gian, hỗ trợ việc giải bài toán tỉ số.

• Xét tam giác ABD bị cắt bởi PI ta có:

Hình ảnh minh họa tam giác ABD bị cắt bởi đường thẳng PI, thể hiện rõ các tỉ lệ đoạn thẳng cần thiết cho việc tính toán tỉ số SA/SD.

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q: R lần lượt lấy trên ba cạnh AB; CD; BC. Cho PR// AC và CQ = 2.QD. Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S. Xác định mối quan hệ giữa AD và DS.

Lời giải:

Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD với các điểm P, Q, R trên các cạnh, điều kiện PR song song AC và CQ = 2QD, giúp người đọc dễ dàng hình dung và giải quyết bài toán.

• Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

Hình ảnh minh họa tam giác BCD và ABD với các điểm và đường thẳng liên quan, giúp việc phân tích và tìm ra mối quan hệ giữa AD và DS trở nên trực quan hơn.

• Vì PR song song với AC suy ra:

Hình ảnh minh họa các tỉ lệ thức được suy ra từ các tam giác đồng dạng, là cơ sở để xác định mối quan hệ giữa AD và DS.

C. Bài Tập Trắc Nghiệm

(Các bài tập và lời giải chi tiết tương tự như bài viết gốc, giúp người học củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán)

(Câu 1 – Câu 9: Nội dung và hình ảnh minh họa tương tự như trong bài gốc)

D. Bài Tập Tự Luyện

(Các bài tập tự luyện tương tự như bài viết gốc, giúp người học tự kiểm tra và nâng cao trình độ)

Hình ảnh minh họa một bài tập tự luyện điển hình về tìm giao điểm, giúp người học có thêm tài liệu để rèn luyện kỹ năng giải toán.