Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt là trong các bài toán rút gọn biểu thức. Để giải quyết hiệu quả các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về điều kiện xác định, các phép biến đổi đại số và các bất đẳng thức cơ bản. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết một bài toán điển hình: Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất Của P.
Cho biểu thức:
P = 3x + 2√x + 1 − 2x − 3 / (3 − √x) − 3√x − 5 / (√x − 2) − √x − 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Để biểu thức P có nghĩa, ta cần xác định các điều kiện cho x:
- x ≥ 0 (do có √x)
- √x ≠ 3 => x ≠ 9
- √x ≠ 2 => x ≠ 4
Vậy ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9
Rút gọn biểu thức P:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, trước tiên ta cần rút gọn biểu thức. Quá trình rút gọn có thể bao gồm các bước: quy đồng mẫu số, thu gọn các số hạng đồng dạng và phân tích thành nhân tử (nếu có).
Sau khi rút gọn (các bước rút gọn sẽ phức tạp và dài dòng, không trình bày chi tiết ở đây để tập trung vào việc tìm min P), ta có thể thu được biểu thức đơn giản hơn:
P = 5√x − 2√x + 1
Phân tích: Biểu thức sau rút gọn cho thấy P phụ thuộc vào căn bậc hai của x. Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa √x.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P:
Ta có thể viết lại P như sau:
P = 5 – 7 / (√x + 1)
Vì √x + 1 > 0 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ, để P đạt giá trị nhỏ nhất, thì 7 / (√x + 1) phải lớn nhất. Điều này xảy ra khi √x + 1 nhỏ nhất.
Minh họa đồ thị giúp hình dung trực quan về sự biến thiên và điểm cực trị của hàm số P.
Vì x ≥ 0, nên √x ≥ 0. Do đó, √x + 1 ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất của √x + 1 là 1, đạt được khi x = 0.
Khi x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ), ta có:
P = 5 – 7 / (0 + 1) = 5 – 7 = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, đạt được khi x = 0.
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -2, đạt được khi x = 0.
Lưu ý:
- Việc xác định ĐKXĐ là bước quan trọng để đảm bảo kết quả tìm được là hợp lệ.
- Quá trình rút gọn biểu thức có thể phức tạp và đòi hỏi sự cẩn thận.
- Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của một biểu thức, cần xem xét các điều kiện ràng buộc và sử dụng các bất đẳng thức phù hợp.
- Trong một số trường hợp, có thể sử dụng các phương pháp khác như khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất.
