Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất của biểu thức trong chương trình Toán lớp 8, đặc biệt tập trung vào việc ứng dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất
Để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức, chúng ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức đó về dạng có thể đánh giá được. Dưới đây là một số kiến thức nền tảng quan trọng:
-
Với mọi số thực x: $(x – a)^2 geq 0$ hay $(x + a)^2 geq 0$
-
Với mọi số thực a, b: $(a + b)^2 geq 0$. Dấu “=” xảy ra khi a + b = 0. $(a – b)^2 geq 0$. Dấu “=” xảy ra khi a – b = 0.
• Cho biểu thức A(x):
- Nếu $A(x) geq a$ với mọi x, thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.
- Nếu $A(x) leq a$ với mọi x, thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.
Ví dụ, nếu $A(x) = (x-1)^2 + 5$, vì $(x-1)^2 geq 0$ với mọi x, nên $A(x) geq 5$. Vậy, giá trị nhỏ nhất của A(x) là 5, đạt được khi x = 1.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 6x – x2
Lời giải:
Ta có:
A = 6x – x2 = -(x2 – 6x)
= -(x2 – 6x + 9) + 9
= -(x – 3)2 + 9
Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x, suy ra -(x – 3)2 ≤ 0 với mọi x.
Do đó, A = -(x – 3)2 + 9 ≤ 9 với mọi x. Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9, đạt được khi x = 3.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10
Lời giải:
C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2.2x.2 + 4 + 6
= (2x + 2)2 + 6
Vì (2x + 2)2 ≥ 0 với mọi x.
Do đó, C = (2x + 2)2 + 6 ≥ 6 với mọi x. Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6, đạt được khi x = -1.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{5}{2x^2 + 4x + 9}$
Lời giải:
Ta có: 2x2 + 4x + 9 = (2x2 + 4x + 2) + 7 = 2(x2 + 2x + 1) + 7 = 2(x + 1)2 + 7
Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x, suy ra 2(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x.
Do đó, 2x2 + 4x + 9 = 2(x + 1)2 + 7 ≥ 7 với mọi x.
Vậy, $A = frac{5}{2x^2 + 4x + 9} leq frac{5}{7}$ . Giá trị lớn nhất của A là $frac{5}{7}$, đạt được khi x = -1.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = –2x2 – 5x + 3.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x2 + 7x + 15.
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5x2 + x + 2.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x2 + 2y2 + 8y + 23.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = –x2 + 5x + 5.
Chúc các bạn học tốt và chinh phục thành công dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất! Hãy nhớ, chìa khóa nằm ở việc nắm vững hằng đẳng thức và khả năng biến đổi biểu thức linh hoạt.
