Phương pháp giải tổng quát
Để giải quyết bài toán “tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên”, chúng ta thường sử dụng một trong hai phương pháp chính sau:
a) Phương pháp phân tích và ước số:
Bước 1: Biến đổi biểu thức A(x) về dạng:
A(x) = h(x) + m/g(x)
Trong đó:
- h(x) là một biểu thức nguyên khi x là số nguyên.
- m là một số nguyên.
- g(x) là một biểu thức chứa x.
Bước 2: Lập luận: Để A(x) nguyên thì m/g(x) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi và chỉ khi g(x) là ước của m.
Bước 3: Tìm các ước của m. Với mỗi ước của m, giải phương trình g(x) = ước số đó để tìm ra giá trị của x.
Bước 4: Kiểm tra lại các giá trị x vừa tìm được với điều kiện xác định của biểu thức ban đầu (nếu có) và kết luận.
b) Phương pháp kẹp:
Bước 1: Sử dụng các bất đẳng thức, tính chất để đánh giá và chặn giá trị của biểu thức A(x) trong một khoảng (m, M), tức là:
m < A(x) < M
Bước 2: Vì A(x) nhận giá trị nguyên, ta suy ra các giá trị nguyên mà A(x) có thể nhận trong khoảng (m, M).
Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên của A(x), giải phương trình A(x) = giá trị đó để tìm x.
Bước 4: Kiểm tra lại các giá trị x vừa tìm được với điều kiện xác định của biểu thức ban đầu (nếu có) và kết luận.
Lưu ý: Luôn luôn kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức trước khi kết luận nghiệm.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A = (3√x + 5) / (√x – 1) nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 0 và x ≠ 1.
Ta có: A = (3√x + 5) / (√x – 1) = 3 + 8/(√x – 1)
Để A nguyên thì (√x – 1) phải là ước của 8.
Ư(8) = {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}.
Ta có bảng sau:
| √x – 1 | -8 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √x | -7 | -3 | -1 | 0 | 2 | 3 | 5 | 9 |
| x | 0 | 4 | 9 | 25 | 81 |
Vậy, với x ∈ {0; 4; 9; 25; 81} thì A nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Tìm x nguyên để biểu thức B = (2x + 3) / (x + 1) có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≠ -1.
Ta có: B = (2x + 3) / (x + 1) = 2 + 1/(x + 1)
Để B nguyên thì (x + 1) phải là ước của 1.
Ư(1) = {-1; 1}.
- x + 1 = -1 ⇔ x = -2
- x + 1 = 1 ⇔ x = 0
Vậy, với x ∈ {-2; 0} thì B nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 3: Tìm x để P = (√x + 1) / (x + 2√x + 3) đạt giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 0.
Ta có: x + 2√x + 3 = (√x + 1)^2 + 2 ≥ 2
Do đó: 0 < (√x + 1) / (x + 2√x + 3) ≤ (√x + 1) / 2
Để P nguyên, ta xét các trường hợp:
- P = 1 ⇔ √x + 1 = x + 2√x + 3 ⇔ x + √x + 2 = 0 (vô nghiệm vì x ≥ 0)
Vậy không có giá trị x nào để P nhận giá trị nguyên.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên:
a) A = (5x + 2) / (x – 3)
b) B = (x^2 + 3) / (x + 1)
c) C = (2√x – 1) / (√x + 2)
Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nguyên:
a) M = (x + 7) / (x + 2)
b) N = (1 – x) / (x + 1)
Bài 3: Cho biểu thức P = (x / (x + 2)) – ((x + 4) / (x – 4)) : ((2x – 1) / (x – 2) – ((x – 1) / x)). Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 4: Tìm giá trị của x để biểu thức Q = (√x + 3) / (√x + 1) nhận giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức R = (1 / (x – 1)) – (2x / (x^2 – x)) + ((x – 1) / (x^2 + x)). Tìm x nguyên để R nguyên.
Hy vọng với các bài tập và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ nắm vững phương pháp và tự tin giải quyết các bài toán “Tìm Giá Trị Của X để Biểu Thức Nguyên”. Chúc các em học tốt!
