Tìm Điểm Đối Xứng Qua Mặt Phẳng: Phương Pháp và Bài Tập

Trong hình học không gian Oxyz, bài toán Tìm điểm đối Xứng Qua Mặt Phẳng là một dạng toán quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giải và các ví dụ minh họa để bạn nắm vững kiến thức.

Để tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng: Đường thẳng này nhận vector pháp tuyến của mặt phẳng làm vector chỉ phương.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Giao điểm này chính là hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng.

3. Tìm tọa độ điểm đối xứng: Sử dụng công thức trung điểm để tìm tọa độ điểm đối xứng, biết tọa độ điểm ban đầu và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Xét bài toán cụ thể: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y – z + 9 = 0. Hãy tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là n = (2; 2; -1). Đường thẳng d đi qua A(1; 2; -3) và vuông góc với (P) sẽ nhận n làm vector chỉ phương. Phương trình tham số của d là:

x = 1 + 2t
y = 2 + 2t
z = -3 - t

Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P)

Tọa độ giao điểm H(x; y; z) thỏa mãn cả phương trình đường thẳng d và mặt phẳng (P). Thay phương trình tham số của d vào phương trình (P), ta có:

2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) – (-3 – t) + 9 = 0

Giải phương trình trên để tìm t:

2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0

18 + 9t = 0

t = -2

Thay t = -2 vào phương trình tham số của d, ta được tọa độ điểm H:

x = 1 + 2(-2) = -3

y = 2 + 2(-2) = -2

z = -3 – (-2) = -1

Vậy, H(-3; -2; -1) là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).

Hình ảnh minh họa điểm A, mặt phẳng P, và hình chiếu H của A trên P. Hình ảnh này giúp người đọc hình dung rõ hơn về bài toán tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng.

Bước 3: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)

Vì H là trung điểm của AA’, ta có:

x_H = (x_A + x_A’) / 2

y_H = (y_A + y_A’) / 2

z_H = (z_A + z_A’) / 2

Suy ra:

x_A’ = 2x_H – x_A = 2(-3) – 1 = -7

y_A’ = 2y_H – y_A = 2(-2) – 2 = -6

z_A’ = 2z_H – z_A = 2(-1) – (-3) = 1

Vậy, tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A'(-7; -6; 1).

Tổng kết:

Quá trình tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng bao gồm việc xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tìm giao điểm (hình chiếu) và sử dụng công thức trung điểm để xác định tọa độ điểm đối xứng. Nắm vững phương pháp này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng.

Hình ảnh minh họa điểm A, mặt phẳng P và điểm đối xứng A’ của A qua P, thể hiện rõ mối quan hệ đối xứng giữa hai điểm và mặt phẳng.