Tìm Công Sai d Của Cấp Số Cộng: Lý Thuyết, Ví Dụ và Bài Tập

A. Phương Pháp Tìm Công Sai d

Trong cấp số cộng, công sai d là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ. Điều này có nghĩa là, nếu (u_n) là một cấp số cộng, thì u_{n+1} - u_n = d với mọi n. Để tìm công sai d, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

1. Sử dụng định nghĩa: Nếu biết hai số hạng liên tiếp, chỉ cần lấy số hạng sau trừ đi số hạng trước.

2. Sử dụng công thức tổng quát: Nếu biết số hạng đầu u_1 và số hạng thứ n, ta có công thức:
   u_n = u_1 + (n-1)d. Từ đó suy ra:
   d = (u_n - u_1) / (n-1).

3. Giải hệ phương trình: Nếu biết hai số hạng không liên tiếp, chẳng hạn u_n và u_m, ta có hệ phương trình:

   u_n = u_1 + (n-1)d
   u_m = u_1 + (m-1)d

   Giải hệ này để tìm u_1 và d.

Công thức thể hiện mối quan hệ giữa các số hạng trong cấp số cộng, giúp ta tìm công sai d khi biết các số hạng khác.

B. Ví Dụ Minh Họa Tìm Công Sai d

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u_1 = -1 và u_5 = 11. Hãy tìm công sai d.

A. d = 3 B. d = 5 C. d = 4 D. d = 2

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức u_5 = u_1 + (5-1)d, ta có:
11 = -1 + 4d
=> 4d = 12
=> d = 3

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có u_1 = 10 và u_7 = -8. Tìm d.

A. d = -2 B. d = -3 C. d = 2 D. d = 3

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức u_7 = u_1 + (7-1)d, ta có:
-8 = 10 + 6d
=> 6d = -18
=> d = -3

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (u_n) có u_1 = -2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số cộng thỏa mãn u_n < 15?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u_1 + (n - 1)d = -2 + 3(n - 1) = 3n - 5.

Để u_n < 15, ta có: 3n - 5 < 15
=> 3n < 20
=> n < 20/3 ≈ 6.67.

Điều kiện un nhỏ hơn 15 giới hạn số lượng số hạng thỏa mãn trong cấp số cộng.

Vì n nguyên dương, nên n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Vậy có 6 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (u_n) có u_3 = -15 và u_{14} = 18. Tìm u_1 và d.

A. u_1 = -21; d = 3 B. u_1 = -20; d = 2 C. u_1 = -21; d = -3 D. u_1 = -20; d = -2

Hướng dẫn giải:

Ta có hệ phương trình:

u_3 = u_1 + 2d = -15
u_14 = u_1 + 13d = 18

Trừ vế cho vế, ta được: 11d = 33 => d = 3.
Thay d = 3 vào phương trình đầu, ta được: u_1 + 2*3 = -15 => u_1 = -21.

Chọn A.

Giải hệ phương trình giúp xác định cả số hạng đầu và công sai d của cấp số cộng.

Minh họa chi tiết các bước giải hệ phương trình để tìm ra u1 và d.

C. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Công Sai d

Câu 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u_4 = -20 và u_{19} = 55. Tìm u_1 và d.

A. u_1 = -35; d = 5 B. u_1 = -35; d = -5 C. u_1 = 35; d = 5 D. u_1 = 35; d = -5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có hệ:

u_4 = u_1 + 3d = -20
u_19 = u_1 + 18d = 55

Giải hệ, ta được u_1 = -35 và d = 5.

Hệ phương trình là công cụ quan trọng để giải quyết bài toán tìm u1 và d khi biết các số hạng khác.

Các bước biến đổi và tính toán chi tiết giúp học sinh hiểu rõ quy trình tìm ra đáp án.

Câu 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn:

u_1 + u_5 = 10
u_4 + u_6 = 18

Tìm công sai d.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Ta có:

u_1 + u_5 = u_1 + u_1 + 4d = 2u_1 + 4d = 10
u_4 + u_6 = u_1 + 3d + u_1 + 5d = 2u_1 + 8d = 18

Trừ hai phương trình, ta được: 4d = 8 => d = 2.

Chọn B.

Câu 3: Cho cấp số cộng (u_n) có u_2 + u_3 = 20 và u_5 + u_7 = -29. Tìm d.

A. 7 B. -7 C. 20.5 D. -20.5

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u_1 + (n-1)d ta có:

u_2 + u_3 = u_1 + d + u_1 + 2d = 2u_1 + 3d = 20
u_5 + u_7 = u_1 + 4d + u_1 + 6d = 2u_1 + 10d = -29

Trừ hai phương trình, ta được: 7d = -49 => d = -7.

Chọn B.

Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn:

u_1 + u_3 + u_5 = -12
u_1 * u_3 * u_5 = 80

Biết u_1 < 0. Tìm công sai d.

A. d = 3 B. d = 2 C. d = -3 D. d = -2

Lời giải:

Đặt u_3 = a. Khi đó, u_1 = a - 2d và u_5 = a + 2d. Ta có:

a - 2d + a + a + 2d = 3a = -12 => a = -4
(a - 2d) * a * (a + 2d) = a * (a^2 - 4d^2) = 80

Thay a = -4 vào, ta được: -4 * (16 - 4d^2) = 80 => 16 - 4d^2 = -20 => 4d^2 = 36 => d^2 = 9 => d = ±3.

Vì u_1 < 0, ta xét hai trường hợp:

• Nếu d = 3 thì u_1 = -4 - 2*3 = -10 < 0.
• Nếu d = -3 thì u_1 = -4 - 2*(-3) = 2 > 0 (loại).

Vậy d = 3.

Chọn A.

D. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Cho cấp số cộng có u_1 = -3; u_{10} = 24. Tìm công sai d?

Bài 2. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 2n + 5. Tìm u_1 và d.

Bài 3. Tìm công sai của cấp số cộng thỏa mãn:

u_1 - u_3 + u_5 = 10
u_1 + u_6 = 17

Bài 4. Tìm công sai của cấp số cộng sau, biết:

u_7 - u_3 = 8
u_2 * u_7 = 75

Bài 5. Cho cấp số cộng (u_n) có S_n = 5n^2 + 3n. Tìm công sai d.

Chúc các bạn học tốt và nắm vững cách tìm công sai d của cấp số cộng!