Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa điển hình giúp học sinh nắm vững cách Tìm Các Giá Trị Của Tham Số M để hàm số đạt cực trị tại một điểm.
A. Phương Pháp Giải & Ví Dụ
Phương Pháp Giải Chung
Khi giải bài toán tìm các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm, đặc biệt khi hàm số có đạo hàm tại điểm đó, ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện cần. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0. Giải phương trình này để tìm giá trị của tham số m.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ. Sử dụng một trong hai quy tắc tìm cực trị (quy tắc 1 hoặc quy tắc 2) để kiểm tra xem giá trị của tham số m vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu bài toán (cực đại hay cực tiểu) hay không.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +(m2 – 1)x + 2, với m là tham số thực. Hãy tìm các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
-
Tập xác định: D = R.
-
Tính đạo hàm:
- y’ = 3x2 – 6mx + m2 – 1
- y” = 6x – 6m
-
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, suy ra y'(2) = 0 và y”(2) > 0.
Giải hệ phương trình, ta được m = 1.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 – (m2 + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
-
Tập xác định: D = R.
-
Tính đạo hàm:
- y’ = -3x2 + 2(m + 3)x – (m2 + 2m)
- y” = -6x + 2(m + 3)
-
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, suy ra y'(2) = 0 và y”(2) < 0.
Giải hệ, ta được m = 0 hoặc m = 2.
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là m = 0 và m = 2.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 – 2m – 1 đạt cực đại tại x = 1.
Hướng dẫn giải:
-
Tập xác định: D = R.
-
Tính đạo hàm: y’ = 4x3 -4(m + 1)x.
-
Điều kiện cần: Để hàm số đạt cực đại tại x = 1, cần y'(1) = 0 <=> 4 – 4(m + 1) = 0 <=> m = 0
-
Kiểm tra: Với m = 0 => y’ = 4x3 – 4x => y'(1) = 0.
Lại có y” = 12x2 – 4 => y”(1) = 8 > 0.
=> Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 => m = 0 không thỏa mãn.
Kết luận: Không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
B. Bài Tập Vận Dụng Tự Giải
Để củng cố kiến thức, các bạn học sinh hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho hàm số: y = (1/3)x3 – mx2 +(m2 – m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1?
Bài 2. Cho hàm số y = (1/3)x3 + (m2 – m + 2) x2 + (3m2 + 1)x + m – 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 .
Bài 3. Cho hàm số y = (1/3)x3 – (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m-1)x4 – (m2 – 2) x2 + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.
Bài 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (x3)/3 +(2m – 1)x2 + (m – 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2 .
Bài 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx3 + 2(m – 1)x2 – (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .
Bài 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x + m/(x+1) đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x + m)/(x – 1) đạt cực đại tại x = -1.
C. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao
Bài 1. Cho hàm số y = (1/3)x3 – mx2 + (m2 − m + 1)x + 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2. Biết A(−1;16), B(3;−16) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Tính y(2).
Bài 3. Biết hàm số f (x) = x + p + q/(x+1) đạt cực trị tại x = −2 và f (−2) = −2. Tính S = p + q.
Bài 4. Cho hàm số y = (x2+mx)/(x+m) (với m là tham số thực). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = −2.
Bài 5. Cho hàm số y = sin3x+ msin x đạt cực đại tại x=π/3. Tìm m.
Chúc các bạn học tốt và thành công trong việc chinh phục dạng toán tìm các giá trị của tham số m này!
