Tìm Hai Số Biết Tổng và Tích: Bí Quyết Giải Nhanh và Bài Tập Áp Dụng

Trong chương trình Toán lớp 9, bài toán “tìm hai số biết tổng và tích” là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.

A. Phương Pháp Giải Tổng Quát

Bài toán cơ bản: Cho hai số u và v, biết tổng của chúng là S (u + v = S) và tích của chúng là P (u.v = P). Hãy tìm u và v.

Cách giải:

1. Kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm: Để hai số u và v tồn tại, điều kiện cần và đủ là: S² ≥ 4P. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, kết luận không tồn tại hai số thỏa yêu cầu.

2. Lập phương trình bậc hai: Nếu điều kiện trên thỏa mãn, hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai sau:

   x² – Sx + P = 0

3. Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm để tìm ra hai nghiệm x₁ và x₂ của phương trình trên.

4. Kết luận: Hai số cần tìm là u = x₁ và v = x₂ (hoặc ngược lại, u = x₂ và v = x₁).

B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Ví dụ 1: Tìm hai số u và v, biết:

a) Tổng của hai số là 12, tích của hai số là 7.

b) Tổng của hai số là -9, tích của hai số là 119.

Hướng dẫn giải:

a) S = 12, P = 7. Kiểm tra điều kiện: 12² = 144 ≥ 4 * 7 = 28. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình bậc hai: *x*<sup>2</sup> - 12*x* + 7 = 0

Tính delta: Δ = (-12)<sup>2</sup> - 4 * 7 = 144 - 28 = 116 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

*x*<sub>1</sub> = (12 + √116) / 2 = 6 + √29

*x*<sub>2</sub> = (12 - √116) / 2 = 6 - √29

Vậy hai số cần tìm là: 6 + √29 và 6 - √29.

b) S = -9, P = 119. Kiểm tra điều kiện: (-9)² = 81 ≥ 4 * 119 = 476. Điều kiện không thỏa mãn.

Vậy không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2: Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và -11 là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Nếu 7 và -11 là nghiệm của phương trình bậc hai, thì:

*S* = 7 + (-11) = -4

*P* = 7 * (-11) = -77

Phương trình bậc hai cần tìm là: *x*<sup>2</sup> + 4*x* - 77 = 0

C. Bài Tập Tự Luyện Có Hướng Dẫn

Câu 1: Tìm hai số, biết:

a) Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11.

b) Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180.

Giải

a) S = 8, P = 11. Kiểm tra điều kiện: S² = 64 ≥ 4P = 44. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> – 8*x* + 11 = 0

Δ = (-8)<sup>2</sup> – 4 * 11 = 64 – 44 = 20 > 0

Alt text: Công thức nghiệm phương trình bậc hai: x1,2 = (-b ± căn delta) / 2a. Sử dụng để giải bài toán tìm hai số khi biết tổng tích.

Vậy hai số cần tìm là:

Alt text: Nghiệm của phương trình x1 = (8 + căn 20)/2 và x2 = (8 – căn 20)/2, kết quả tìm hai số biết tổng và tích.

b) S = 17, P = 180. Kiểm tra điều kiện: S² = 289 ≥ 4P = 720. Điều kiện không thỏa mãn. Vậy, không tồn tại hai số thỏa mãn.

Câu 2: Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 15 và u.v = 36

b) u + v = 4 và u.v = 7

c) u + v = -12 và u.v = 20

Giải

a) S = 15, P = 36. Kiểm tra điều kiện: S² = 225 > 4P = 144. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> – 15*x* + 36 = 0

Δ = (-15)<sup>2</sup> – 4 * 36 = 225 – 144 = 81 > 0

Alt text: Công thức nghiệm x1 = (15 + căn 81)/2 và x2 = (15 – căn 81)/2, giúp tìm ra hai số thỏa mãn tổng và tích đã cho.

Vậy hai số cần tìm là: *u* = 12, *v* = 3 hoặc *u* = 3, *v* = 12

b) S = 4, P = 7. Kiểm tra điều kiện: S² = 16 < 4P = 28. Điều kiện không thỏa mãn. Vậy, không tồn tại hai số thỏa mãn.

c) S = -12, P = 20. Kiểm tra điều kiện: S² = 144 > 4P = 80. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> + 12*x* + 20 = 0

Δ = (12)<sup>2</sup> – 4 * 20 = 144 – 80 = 64 > 0

Alt text: Công thức nghiệm x1,2 = (-b ± căn delta) / 2a áp dụng cho trường hợp tổng hai số âm, giúp giải bài toán tìm u và v.

Vậy hai số cần tìm là: *u* = -2, *v* = -10 hoặc *u* = -10, *v* = -2

Câu 3: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Giải

*S* = 15, *P* = 36. Kiểm tra điều kiện: *S*<sup>2</sup> = 225 ≥ 4*P* = 144. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> – 15*x* + 36 = 0

Δ = (-15)<sup>2</sup> – 4 * 36 = 225 – 144 = 81 > 0

Alt text: Tính nghiệm x1,2 sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai, sau đó so sánh để xác định u và v dựa trên điều kiện u lớn hơn v.

Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3

Do *u* > *v* nên *u* = 12 và *v* = 3 ⇒ *u – v* = 12 – 3 = 9

Câu 4: Tìm hai số x, y biết x² + y² = 61 và xy = 30

Giải

Theo giả thiết ta có:

Alt text: Sử dụng hằng đẳng thức (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy để suy ra tổng x + y từ x^2 + y^2 và xy đã biết.

+ Xét TH1: *x + y* = 11 và *xy* = 30

*S* = 11, *P* = 30. Kiểm tra điều kiện: *S*<sup>2</sup> = 121 > 4*P* = 120. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> - 11*x* + 30 = 0

Δ = (11)<sup>2</sup> – 4 * 30 = 121 – 120 = 1 > 0

Alt text: Áp dụng công thức nghiệm để tìm ra giá trị x1 và x2, từ đó xác định các cặp số x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hai số cần tìm là: *x* = 5, *y* = 6 hoặc *x* = 6, *y* = 5

+ Xét TH2: *x + y* = -11 và *xy* = 30

*S* = -11, *P* = 30. Kiểm tra điều kiện: *S*<sup>2</sup> = 121 > 4*P* = 120. Điều kiện thỏa mãn.

Phương trình: *x*<sup>2</sup> + 11*x* + 30 = 0

Δ = (-11)<sup>2</sup> – 4 * 30 = 121 – 120 = 1 > 0

Alt text: Công thức tính nghiệm x1,2 khi tổng hai số là âm, giúp tìm ra các cặp số âm thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hai số cần tìm là: *x* = -5, *y* = -6 hoặc *x* = -6, *y* = -5

Kết hợp 2 trường hợp ta tìm được 4 cặp số *x*,*y* thỏa mãn đầu bài

*x* = 5, *y* = 6 hoặc *x* = 6, *y* = 5 hoặc *x* = -5, *y* = -6 hoặc *x* = -6, *y* = -5

Câu 5: Cho phương trình x² – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁ + x₂ = 7 (1)

Mặt khác theo giả thiết hiệu 2 nghiệm bằng 11 nên: x₁ – x₂ = 11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Alt text: Hệ phương trình gồm tổng và hiệu hai nghiệm, giải hệ để tìm giá trị cụ thể của từng nghiệm.

Ta có: *x*<sub>1</sub>*x*<sub>2</sub> = *q* = 9.(-2) = -18

Vậy *q* = -18 và 2 nghiệm của phương trình là 9 và -2

Câu 6: Cho phương trình x² – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁x₂ = 50 (1)

Mặt khác theo giả thiết, phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia nên: x₁ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Alt text: Hệ phương trình với một nghiệm là bội của nghiệm kia, giúp giải quyết bài toán khi biết tích của hai nghiệm.

Với x₁ = 10, x₂ = 5 thì:

Alt text: Sử dụng công thức Vi-et đảo để tính giá trị q dựa trên hai nghiệm đã tìm được, x1 = 10 và x2 = 5.

Với x₁ = -10, x₂ = -5 thì:

Alt text: Tương tự, tính q khi hai nghiệm đều là số âm, x1 = -10 và x2 = -5, sử dụng công thức Vi-et đảo.

D. Bài Tập Tự Luyện Thêm

Bài 1. Tìm hai số a và b, biết tổng S và tích P trong mỗi trường hợp sau:

a) S = 3 và P = 2.

b) S = –3 và P = 6.

c) S = 9 và P = 20.

d) S = 2x và P = x² – y².

Bài 2. Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) a + b = 9 và a² + b² = 41.

b) a – b = 5 và ab = 36.

c) a² + b² = 61 và ab = 30.

Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2+√3 và 2-√3.

Bài 4. Cho phương trình x² + 5x – 3m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x₁ và x₂.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x₁² và 2x₂².

Bài 5. Cho phương trình 3x² + 5x – m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x₁ và x₂.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là (x₁/x₂)+1 và (x₂/x₁)+1.

Bài viết này đã cung cấp đầy đủ kiến thức và bài tập về dạng toán “tìm hai số biết tổng và tích”. Chúc các bạn học tốt!