1. Đường Tiệm Cận Ngang (TCN)
Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
- lim ₓ→+∞ f(x) = y₀
- lim ₓ→-∞ f(x) = y₀
Tiệm cận ngang cho biết xu hướng của đồ thị hàm số khi x tiến tới vô cực.
2. Đường Tiệm Cận Đứng (TCĐ)
Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
- lim ₓ→x₀⁺ f(x) = +∞
- lim ₓ→x₀⁺ f(x) = -∞
- lim ₓ→x₀⁻ f(x) = +∞
- lim ₓ→x₀⁻ f(x) = -∞
Tiệm cận đứng thường xuất hiện tại các điểm mà hàm số không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0).
3. Đường Tiệm Cận Xiên
Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
- lim ₓ→+∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
- lim ₓ→-∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
Để xác định hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax + b, ta có thể sử dụng công thức:
- a = lim ₓ→±∞ f(x)/x
- b = lim ₓ→±∞ [f(x) – ax]
4. Chú Ý Quan Trọng
- Hàm phân thức hữu tỉ y = (ax + b) / (cx + d) (với c ≠ 0) có tiệm cận ngang là y = a/c và tiệm cận đứng là x = -d/c. Đây là một công thức nhanh giúp bạn giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách hiệu quả.
- Để tìm tiệm cận đứng, bạn cần tìm các điểm mà mẫu số của hàm số bằng 0 (và tử số khác 0). Sau đó, kiểm tra các giới hạn một bên tại các điểm đó.
5. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x – 3).
Lời giải:
- Tiệm cận ngang: lim ₓ→±∞ (2x + 1) / (x – 3) = 2. Vậy, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
- Tiệm cận đứng: Mẫu số x – 3 = 0 khi x = 3. Ta có:
- lim ₓ→3⁺ (2x + 1) / (x – 3) = +∞
- lim ₓ→3⁻ (2x + 1) / (x – 3) = -∞
Vậy, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng.
Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = (x² – 1) / (x – 1).
Lời giải:
Trước hết, ta nhận thấy rằng hàm số này có thể rút gọn thành y = x + 1 khi x ≠ 1.
- Tiệm cận đứng: Mặc dù mẫu số bằng 0 tại x = 1, nhưng sau khi rút gọn, hàm số trở thành y = x + 1, là một đường thẳng. Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng. Thực tế, tại x = 1 đồ thị hàm số có một “lỗ hổng”.
- Tiệm cận ngang/xiên: Hàm số này không có tiệm cận ngang vì nó tiến tới vô cực khi x tiến tới vô cực. Tuy nhiên, sau khi rút gọn, ta thấy y = x + 1 là một đường thẳng. Vì vậy, hàm số không có tiệm cận xiên.
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (x² + 2x + 1) / x.
Lời giải:
Ta thực hiện phép chia đa thức: (x² + 2x + 1) / x = x + 2 + 1/x.
Khi x tiến tới vô cực, 1/x tiến tới 0. Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
6. Bài Tập Luyện Tập
- Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = (3x – 2) / (x + 1).
- Xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x² – 4) / (x – 2).
- Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (2x² + x – 3) / (x – 1).
- Đồ thị hàm số y = (x + 1) / (x² – 1) có bao nhiêu đường tiệm cận?
- Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – m) / (x² – 4) có đúng một đường tiệm cận đứng.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập về tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là chìa khóa để bạn tự tin chinh phục các bài toán liên quan trong kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!
