1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng
Tích vô hướng của hai vector là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong hình học vector. Nó cho phép chúng ta liên kết các khái niệm hình học như góc và độ dài với đại số.
Cho hai vector a và b khác vector không. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được xác định bởi công thức:
a.b = |a| . |b| . cos(θ)
Trong đó:
- |a| và |b| là độ dài (hay mô-đun) của vector a và b tương ứng.
- θ là góc giữa hai vector a và b.
Nếu ít nhất một trong hai vector a hoặc b là vector không, thì tích vô hướng của chúng bằng 0.
a.b = 0
2. Các Tính Chất Quan Trọng của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có nhiều tính chất hữu ích, giúp chúng ta đơn giản hóa các phép tính và chứng minh các định lý hình học.
- Tính giao hoán: a.b = b.a
- Tính phân phối đối với phép cộng vector: a.(b + c) = a.b + a.c
- Tính kết hợp với một số thực: (ka).b = k(a.b) = a(k.b)
- Bình phương vô hướng: a.a = |a|2 ≥ 0. Đặc biệt, a.a = 0 khi và chỉ khi a = 0 (vector không).
3. Biểu Thức Tọa Độ của Tích Vô Hướng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vector a = (xa; ya) và b = (xb; yb). Khi đó, tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:
a.b = xa.xb + ya.yb
Đây là một công thức rất quan trọng, giúp chúng ta tính tích vô hướng một cách dễ dàng khi biết tọa độ của hai vector.
Hai vector a và b khác vector không vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:
xa.xb + ya.yb = 0
4. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có rất nhiều ứng dụng trong toán học và vật lý, bao gồm:
- Tính độ dài của vector: |a| = √(a.a) = √(xa2 + ya2)
- Tính góc giữa hai vector: cos(θ) = (a.b) / (|a| . |b|)
- Xác định tính vuông góc của hai vector.
- Tính khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) là AB = √((xB – xA)2 + (yB – yA)2)
Ví dụ, để tính góc giữa hai vector a(1; 2) và b(3; -1), ta làm như sau:
- a.b = 13 + 2(-1) = 1
- |a| = √(12 + 22) = √5
- |b| = √(32 + (-1)2) = √10
- cos(θ) = 1 / (√5 * √10) = 1 / (5√2)
- θ = arccos(1 / (5√2))
5. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, bạn có thể thử sức với các bài tập sau:
- Cho hai vector a(2; -3) và b(1; 4). Tính a.b, |a|, |b| và góc giữa hai vector.
- Chứng minh rằng trong một tam giác, nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông.
- Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(1; 1) và B(3; 5).
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn sử dụng tích vô hướng một cách hiệu quả trong giải toán và ứng dụng thực tế.