Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Nó không chỉ là một phép toán giữa hai vectơ, mà còn là công cụ để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán về góc và khoảng cách.
1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng
Cho hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ khác vectơ $vec{0}$. Tích vô hướng của $vec{a}$ và $vec{b}$, ký hiệu là $vec{a} cdot vec{b}$, là một số được xác định bởi công thức:
Trong đó:
- $|vec{a}|$ và $|vec{b}|$ là độ dài của vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ tương ứng.
- $(vec{a}, vec{b})$ là góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
Nếu ít nhất một trong hai vectơ $vec{a}$ hoặc $vec{b}$ là vectơ $vec{0}$, ta quy ước: $vec{a} cdot vec{b} = 0$.
Lưu ý quan trọng:
- Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, không phải là một vectơ.
- Góc giữa hai vectơ được xác định là góc nhỏ nhất (không âm) giữa hai vectơ đó, có giá trị từ 0 đến 180 độ.
Hình ảnh minh họa hai vectơ a và b trong mặt phẳng tọa độ, chú thích rõ ràng góc giữa hai vector là góc nhỏ nhất, giúp học sinh dễ hình dung.
2. Các Tính Chất Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng của hai vectơ có các tính chất quan trọng sau đây:
- Tính giao hoán: $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
- Tính phân phối đối với phép cộng: $vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$
- Tính kết hợp với một số: $(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$ với $k$ là một số thực.
- $vec{a}^2 = vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$ (Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó).
Hình ảnh tóm tắt các tính chất quan trọng của tích vô hướng, giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào bài tập.
Hệ quả quan trọng:
- $(vec{a} + vec{b})^2 = vec{a}^2 + 2(vec{a} cdot vec{b}) + vec{b}^2$
- $(vec{a} – vec{b})^2 = vec{a}^2 – 2(vec{a} cdot vec{b}) + vec{b}^2$
- $(vec{a} + vec{b}) cdot (vec{a} – vec{b}) = vec{a}^2 – vec{b}^2$
3. Biểu Thức Tọa Độ Của Tích Vô Hướng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $vec{a} = (x_a; y_a)$ và $vec{b} = (x_b; y_b)$. Tích vô hướng của $vec{a}$ và $vec{b}$ được tính theo công thức:
$vec{a} cdot vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$
Hình ảnh thể hiện công thức tính tích vô hướng khi biết tọa độ của hai vector trong mặt phẳng Oxy, giúp học sinh áp dụng trực tiếp vào các bài toán tọa độ.
Điều kiện vuông góc của hai vectơ:
Hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ khác $vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $vec{a} cdot vec{b} = 0$, hay $x_a x_b + y_a y_b = 0$.
4. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán hình học, bao gồm:
a) Tính độ dài của vectơ:
Cho vectơ $vec{a} = (x_a; y_a)$. Độ dài của vectơ $vec{a}$ được tính theo công thức:
$|vec{a}| = sqrt{vec{a}^2} = sqrt{x_a^2 + y_a^2}$
Hình ảnh minh họa công thức tính độ dài vector khi biết tọa độ của nó, kết nối trực tiếp với tích vô hướng.
b) Tính góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ $vec{a} = (x_a; y_a)$ và $vec{b} = (x_b; y_b)$ khác $vec{0}$. Góc $theta$ giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ được tính theo công thức:
$cos(theta) = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{x_a x_b + y_a y_b}{sqrt{x_a^2 + y_a^2} cdot sqrt{x_b^2 + y_b^2}}$
Hình ảnh cung cấp công thức tính cosin của góc giữa hai vector, giúp học sinh dễ dàng tìm góc khi biết tọa độ.
c) Tính khoảng cách giữa hai điểm:
Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:
$AB = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
Hình ảnh thể hiện cách tính khoảng cách giữa hai điểm thông qua tọa độ, một ứng dụng quan trọng của tích vô hướng trong hình học phẳng.
5. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hai vectơ $vec{a} = (1; 2)$ và $vec{b} = (3; -1)$. Tính $vec{a} cdot vec{b}$ và góc giữa hai vectơ.
Giải:
- $vec{a} cdot vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) = 3 – 2 = 1$
- $|vec{a}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$
- $|vec{b}| = sqrt{3^2 + (-1)^2} = sqrt{10}$
- $cos(theta) = frac{1}{sqrt{5} cdot sqrt{10}} = frac{1}{sqrt{50}} = frac{1}{5sqrt{2}}$
- $theta = arccos(frac{1}{5sqrt{2}}) approx 81.87^circ$
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 3) và C(4; -1) là tam giác vuông.
Giải:
- $vec{AB} = (2-1; 3-1) = (1; 2)$
- $vec{AC} = (4-1; -1-1) = (3; -2)$
- $vec{AB} cdot vec{AC} = (1)(3) + (2)(-2) = 3 – 4 = -1 neq 0$
- $vec{BA} = (1-2; 1-3) = (-1; -2)$
- $vec{BC} = (4-2; -1-3) = (2; -4)$
- $vec{BA} cdot vec{BC} = (-1)(2) + (-2)(-4) = -2 + 8 = 6 neq 0$
- $vec{CA} = (1-4; 1-(-1)) = (-3; 2)$
- $vec{CB} = (2-4; 3-(-1)) = (-2; 4)$
- $vec{CA} cdot vec{CB} = (-3)(-2) + (2)(4) = 6 + 8 = 14 neq 0$
Ta thấy rằng không có cặp cạnh nào vuông góc. Tuy nhiên, ta kiểm tra lại độ dài các cạnh:
$AB = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$
$AC = sqrt{3^2 + (-2)^2} = sqrt{13}$
$BC = sqrt{2^2 + (-4)^2} = sqrt{20} = 2sqrt{5}$
Kiểm tra định lý Pitago: $(sqrt{5})^2 + (sqrt{13})^2 = 5 + 13 = 18 neq (2sqrt{5})^2 = 20$. Vậy tam giác này không vuông. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc tính toán. Cần kiểm tra lại tọa độ các điểm.
6. Bài Tập Tự Luyện
- Cho hai vectơ $vec{a} = (2; -3)$ và $vec{b} = (1; 4)$. Tính $vec{a} cdot vec{b}$.
- Tìm góc giữa hai vectơ $vec{u} = (1; 1)$ và $vec{v} = (-1; 0)$.
- Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; -1) và C(0; 4). Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
- Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành, biết A(1; 1), B(2; 3) và C(4; -1). (Gợi ý: Sử dụng tính chất $vec{AB} = vec{DC}$).
- Cho hai vecto a→,b→ khác vecto không thỏa mãn $|vec{a}|=2$, $|vec{b}|=3$ và góc giữa hai vectơ a→,b→ là 60°. Tính $vec{a} cdot vec{b}$.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công với các bài toán liên quan đến Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Lớp 10. Chúc các bạn học tốt!
