Tích vô hướng của hai vector là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong hình học và đại số tuyến tính. Nó cung cấp một cách để nhân hai vector và thu được một đại lượng vô hướng (một số thực). Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng của hai vector.
1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng
Cho hai vector $vec{a}$ và $vec{b}$ khác vector $vec{0}$. Tích vô hướng của $vec{a}$ và $vec{b}$, ký hiệu là $vec{a} cdot vec{b}$, là một số được xác định bởi công thức:
Trong đó, $|vec{a}|$ và $|vec{b}|$ là độ dài của vector $vec{a}$ và $vec{b}$ tương ứng, và $theta$ là góc giữa hai vector.
Nếu ít nhất một trong hai vector $vec{a}$ hoặc $vec{b}$ là vector $vec{0}$, ta quy ước $vec{a} cdot vec{b} = 0$.
Lưu ý:
- Tích vô hướng là một số thực, không phải là một vector.
- Góc giữa hai vector được xác định là góc nhỏ nhất giữa chúng, nằm trong khoảng $[0, pi]$.
2. Các Tính Chất Quan Trọng Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng của hai vector có nhiều tính chất quan trọng, giúp đơn giản hóa các phép tính và chứng minh:
-
Tính giao hoán: $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
-
Tính phân phối đối với phép cộng vector: $vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$
-
Tính kết hợp với phép nhân một số với vector: $(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$ với $k$ là một số thực.
-
Bình phương vô hướng: $vec{a}^2 = vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$
Hệ quả quan trọng:
- $(vec{a} + vec{b})^2 = vec{a}^2 + 2(vec{a} cdot vec{b}) + vec{b}^2 = |vec{a}|^2 + 2(vec{a} cdot vec{b}) + |vec{b}|^2$
- $(vec{a} – vec{b})^2 = vec{a}^2 – 2(vec{a} cdot vec{b}) + vec{b}^2 = |vec{a}|^2 – 2(vec{a} cdot vec{b}) + |vec{b}|^2$
- $(vec{a} + vec{b}) cdot (vec{a} – vec{b}) = vec{a}^2 – vec{b}^2 = |vec{a}|^2 – |vec{b}|^2$
3. Biểu Thức Tọa Độ Của Tích Vô Hướng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vector $vec{a} = (x_a, y_a)$ và $vec{b} = (x_b, y_b)$. Tích vô hướng của $vec{a}$ và $vec{b}$ được tính bằng công thức:
$vec{a} cdot vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$
Điều kiện vuông góc: Hai vector $vec{a}$ và $vec{b}$ khác vector $vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $vec{a} cdot vec{b} = 0$, tức là $x_a x_b + y_a y_b = 0$.
4. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý:
a) Tính Độ Dài Vector
Độ dài của vector $vec{a} = (x_a, y_a)$ được tính bằng công thức:
$|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}} = sqrt{x_a^2 + y_a^2}$
b) Tính Góc Giữa Hai Vector
Góc $theta$ giữa hai vector $vec{a} = (x_a, y_a)$ và $vec{b} = (x_b, y_b)$ (khác $vec{0}$) được tính bằng công thức:
$cos(theta) = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{x_a x_b + y_a y_b}{sqrt{x_a^2 + y_a^2} cdot sqrt{x_b^2 + y_b^2}}$
c) Tính Khoảng Cách Giữa Hai Điểm
Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A, y_A)$ và $B(x_B, y_B)$ được tính bằng công thức:
$AB = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
Công thức này thực chất là độ dài của vector $vec{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A)$.
5. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách sử dụng tích vô hướng, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai vector $vec{a} = (1, 2)$ và $vec{b} = (3, -1)$. Tính $vec{a} cdot vec{b}$.
Giải:
$vec{a} cdot vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) = 3 – 2 = 1$
Ví dụ 2: Cho hai vector $vec{a} = (2, 2)$ và $vec{b} = (-2, 2)$. Chứng minh rằng $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc.
Giải:
$vec{a} cdot vec{b} = (2)(-2) + (2)(2) = -4 + 4 = 0$
Vì $vec{a} cdot vec{b} = 0$, nên $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc.
Ví dụ 3: Cho hai điểm A(1, 1) và B(4, 5). Tính khoảng cách giữa A và B.
Giải:
$AB = sqrt{(4 – 1)^2 + (5 – 1)^2} = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$
6. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử sức với các bài tập sau:
- Cho $vec{a} = (2, -3)$ và $vec{b} = (1, 4)$. Tính $vec{a} cdot vec{b}$ và góc giữa hai vector.
- Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
- Tìm vector $vec{u}$ có độ dài bằng 1 và vuông góc với vector $vec{v} = (3, -4)$.
Kết Luận
Tích vô hướng của hai vector là một công cụ mạnh mẽ trong toán học và vật lý. Việc nắm vững lý thuyết, tính chất và ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vector một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về tích vô hướng của hai vector.