Tích có hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12. Nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác.
Định Nghĩa Tích Có Hướng
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là [a, b], là một vectơ được xác định bởi công thức:
alt: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ a và b trong hệ tọa độ Oxyz, minh họa thành phần x, y, z của vectơ kết quả.
Hoặc có thể viết dưới dạng định thức như sau:
alt: Biểu thức định thức để tính tích có hướng của hai vectơ a và b, sử dụng các vectơ đơn vị i, j, k.
Lưu ý quan trọng: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, trong khi tích vô hướng của hai vectơ là một số. Điều này là một điểm khác biệt cơ bản cần ghi nhớ.
Tính Chất Của Tích Có Hướng
Tích có hướng sở hữu những tính chất đặc biệt, giúp đơn giản hóa việc tính toán và ứng dụng trong giải toán:
- Tính vuông góc: [a, b] vuông góc với cả a và b. Tức là:
- [a, b] ⊥ a
- [a, b] ⊥ b
- Tính phản đối xứng: [a, b] = -[b, a]
- Tích có hướng của các vectơ đơn vị:
- [i, j] = k
- [j, k] = i
- [k, i] = j
- Độ dài của tích có hướng: |[a, b]| = |a|.|b|.sin(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
- Điều kiện cùng phương: Hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi [a, b] = 0 (điều này có thể dùng để chứng minh ba điểm thẳng hàng).
Ứng Dụng Của Tích Có Hướng
Tích có hướng có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích.
- Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ a, b, và c đồng phẳng khi và chỉ khi [[a, b].c = 0.
- Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD được tính bởi SABCD = |[AB, AD]|.
alt: Hình ảnh minh họa hình bình hành ABCD, giải thích diện tích tính bằng độ dài tích có hướng của vectơ AB và AD.
- Diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC được tính bởi SABC = 1/2 |[AB, AC]|.
alt: Hình ảnh tam giác ABC, minh họa công thức tính diện tích sử dụng một nửa độ dài tích có hướng của vectơ AB và AC.
- Thể tích khối hộp: Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được tính bởi V = |[[AB, AD].AA’]|.
alt: Hình ảnh khối hộp ABCD.A’B’C’D’, giải thích thể tích thông qua tích có hướng và tích vô hướng của các cạnh.
- Thể tích tứ diện: Thể tích tứ diện ABCD được tính bởi V = (1/6) |[[AB, AC].AD]|.
alt: Hình ảnh tứ diện ABCD, minh họa công thức tính thể tích dựa trên tích có hướng và tích vô hướng của ba vectơ.
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng tích có hướng, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.
Lời giải:
- Bước 1: Tính các vectơ AB, AC, và AD.
- AB = (-2; 1; 1)
- AC = (-2; 1; -1)
- AD = (1; -1; -3)
- Bước 2: Tính tích có hướng [AB, AC].
- [AB, AC] = (-2; -4; 0)
- Bước 3: Tính tích hỗn tạp [[AB, AC].AD].
- [[AB, AC].AD] = 2 ≠ 0
- Kết luận: Vì tích hỗn tạp khác 0, nên A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Bước 1: Tính thể tích tứ diện ABCD.
- VABCD = (1/6) |[[AB, AC].AD]| = 1/3
Bước 2: Tính diện tích mặt đáy BCD.
- Tính BC = (0; 0; -2) và BD = (3; -2; -4)
- Tính [BC, BD] = (-4; -6; 0)
- SBCD = (1/2) |[BC, BD]| = √13
Bước 3: Tính chiều cao từ A đến mặt phẳng (BCD).
- VABCD = (1/3) h SBCD => h = VABCD * 3 / SBCD = 1/√13
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH).
alt: Hình ảnh khối hộp ABCD.EFGH, ví dụ minh họa tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sử dụng tích có hướng.
Lời giải:
- Bước 1: Tính các vectơ AB, AD, và AE.
- AB = (1; 0; 1)
- AD = (2; 0; 1)
- AE = (-2; 1; -3)
- Bước 2: Tính tích có hướng [AB, AD].
- [AB, AD] = (0; 1; 0)
- Bước 3: Tính tích hỗn tạp [[AB, AD].AE].
- [[AB, AD].AE] = 1
- Bước 4: Tính thể tích khối hộp.
- V = |[[AB, AD].AE]| = 1
- Bước 5: Tính diện tích mặt bên AEFB.
- Tính [AB, AE]
- SAEFB = |[AB, AE]| = √3
- Bước 6: Suy ra diện tích mặt DCGH.
- SDCGH = SAEFB = √3
- Bước 7: Tính khoảng cách từ A đến (DCGH).
- V = d(A;(DCGH)) * SDCGH => d(A;(DCGH)) = V / SDCGH = 1/√3 = √3/3
Bài Tập Vận Dụng
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn luyện tập và củng cố kiến thức:
Bài 1: Cho A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 3: Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 4: Cho A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 5: Cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Tổng Kết
Tích có hướng của hai vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học không gian. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ kiến thức này và đạt kết quả cao trong học tập.
