A. Định Nghĩa và Công Thức Tính Tích Vô Hướng
Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ khác vectơ 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số thực, ký hiệu là u→. v→, được xác định theo công thức:
Ảnh minh họa công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, với các thành phần là độ dài hai vector và góc giữa chúng.
Trong đó:
- |u→| và |v→| lần lượt là độ dài của vectơ u→ và v→.
- ( u→, v→) là góc giữa hai vectơ u→ và v→.
Lưu ý: Nếu u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, thì theo quy ước u→. v→ = 0.
Các Tính Chất Quan Trọng của Tích Vô Hướng
- Tính giao hoán: u→. v→ = v→. u→
- Tính phân phối đối với phép cộng: u→. ( v→ + w→) = u→. v→ + u→. w→
- (k.u→). v→ = k.( u→. v→) với k là một số thực.
- u→² = |u→|² (bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó).
B. Ứng Dụng của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học và vật lý, được ứng dụng rộng rãi để:
-
Tính góc giữa hai vectơ:
cos( u→, v→) = (u→. v→) / (|u→|.|v→|)
-
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ:
u→ ⊥ v→ ⇔ u→. v→ = 0
-
Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.
-
Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và góc trong không gian.
-
Trong vật lý: Tính công của lực, năng lượng,…
C. Các Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính cos(AB, DM).
Hướng dẫn giải:
Giả sử cạnh của tứ diện là a.
Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.
Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?
A. 60° B. 45° C . 120° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?
A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Xét:
Vậy SC và AB vuông góc với nhau
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Vậy SA ⊥ BC
Chọn D
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu
thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1:
⇔ AC ⊥ BD
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD→ ⊥ BC→ và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB→ ⊥ CD→
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Sai ở bước 3
B. Đúng
C. Sai ở bước 2
D. Sai ở bước 1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bài giải đúng
D. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
A. cosα = (3/4) B. α = 60° C. α = 30° D. cosα = 1/4
Lời giải:
Chọn D
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°
Lời giải:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)
Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)
Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)
Từ ( 1) và (2) ta có
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng
A. 45° B. 30° C. 90° D.60°
Lời giải:
Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2
Ta có : AC2 = 2a2= SA2 + SC2
⇒ tam giác SAC vuông taị S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→
Khi đó
Chọn C
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB→.EG→
Lời giải:
Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→
Mặt khác AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp) .
Suy ra
Chọn B
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B1M→.BD1→ là:
Lời giải:
Chọn A
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°
Lời giải:
* Gọi M là trung điểm của CD
* Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.
Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?
A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°
Lời giải:
Câu 8: Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn: . Gọi α là góc giữa hai vectơ a→ và b→. Chọn khẳng định đúng?
Lời giải:
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:
A. k = 1 B. k = 2 C. k = 0 D. k = 4
Lời giải:
Chọn đáp án C
Câu 10: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?
A. AB2 + AC2 + BC2 = 2.(GA2 + GB2 + GC2)
B. AB2 + AC2 + BC2 = GA2 + GB2 + GC2
C. AB2 + AC2 + BC2 = 4.(GA2 + GB2 + GC2)
D. AB2 + AC2 + BC2 = 3.(GA2 + GB2 + GC2)
Lời giải:
Cách 1
Ta có
Tương tự ta suy ra được GA2 + GB2 + GC2
Chọn đáp án D.
E. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a có đường cao AM. Tính các tính vô hướng AB→.AC→,AM→.BC→
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ u→=0;−5,v→=3;1. Tính tích vô hướng giữa hai vectơ trên.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng sau: AB→.AC→,AB→.BD→.
Bài 4. Cho 2 vectơ a→,b→ thỏa mãn a→=1,b→=2,a→−2b→=15. Tính a→,b→.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) MA2 + MC2 = MB2 + MD2;
b) MA→.MC→=MB→.MD→.
Bài tập tự luyện Hai vecto nhân nhau
Bài 1. Cho hai vectơ a→,b→ khác vecto không thỏa mãn a→.b→=−a→.b→. Tính góc giữa hai vec tơ a→,b→.
Bài 2. Cho hai vectơ a→,b→. Biết Cho hai vectơ a→=2,b→=3 và a→,b→=30°. Tính a→+b→.
Bài 3. Cho tam giác ABC có ABC^=30°, AB = 5, BC = 8. Tính BA→⋅BC→.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB→⋅AC→.
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính AB→⋅AC→.
