Tỉ Số đồng Dạng là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt khi nghiên cứu về tam giác đồng dạng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về tỉ số đồng dạng, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và ứng dụng của nó.
Định Nghĩa và Khái Niệm Cơ Bản về Tỉ Số Đồng Dạng
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Tỉ số của các cạnh tương ứng này được gọi là tỉ số đồng dạng.
Nếu ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔABC, ta ký hiệu là ΔA’B’C’ ∼ ΔABC. Khi đó:
- ∠A’ = ∠A, ∠B’ = ∠B, ∠C’ = ∠C
- A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA = k (k là tỉ số đồng dạng)
Hình ảnh minh họa khái niệm tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng.
Trong đó, tỉ số k = A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA được gọi là tỉ số đồng dạng của ΔA’B’C’ so với ΔABC. Lưu ý rằng thứ tự tam giác rất quan trọng trong việc xác định tỉ số đồng dạng.
Tính Chất Quan Trọng của Tỉ Số Đồng Dạng
- Tính phản xạ: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó (ΔABC ∼ ΔABC). Trong trường hợp này, tỉ số đồng dạng là 1.
Hình ảnh minh họa tính chất một tam giác đồng dạng với chính nó.
- Tính đối xứng: Nếu ΔA’B’C’ ∼ ΔABC với tỉ số đồng dạng k, thì ΔABC ∼ ΔA’B’C’ với tỉ số đồng dạng 1/k.
- Tính bắc cầu: Nếu ΔA’B’C’ ∼ ΔABC và ΔA”B”C” ∼ ΔA’B’C’, thì ΔA”B”C” ∼ ΔABC. Tỉ số đồng dạng của ΔA”B”C” so với ΔABC bằng tích của tỉ số đồng dạng của ΔA”B”C” so với ΔA’B’C’ và tỉ số đồng dạng của ΔA’B’C’ so với ΔABC.
Định Lý Về Tam Giác Đồng Dạng
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Hình ảnh minh họa định lý về tam giác đồng dạng khi có một đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Trong ΔABC, nếu DE // BC (D thuộc AB, E thuộc AC) thì ΔADE ∼ ΔABC.
Định lý này cũng đúng khi đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh và song song với cạnh còn lại.
Các Trường Hợp Đồng Dạng Của Tam Giác
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta có thể sử dụng các trường hợp sau:
- Trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Trường hợp góc-góc (g-g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Bài Tập Vận Dụng về Tỉ Số Đồng Dạng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’. Biết AB = 4cm, BC = 6cm, A’B’ = 8cm. Tính B’C’.
Giải:
Vì ΔABC ∼ ΔA’B’C’ nên ta có:
AB/A’B’ = BC/B’C’
Thay số: 4/8 = 6/B’C’
=> B’C’ = (6 * 8) / 4 = 12cm
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 6cm, CD = 10cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOCD.
b) Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác trên.
Giải:
a) Vì AB // CD nên ∠OAB = ∠OCD (so le trong) và ∠OBA = ∠ODC (so le trong).
Do đó, ΔOAB ∼ ΔOCD (trường hợp góc-góc).
b) Tỉ số đồng dạng của ΔOAB so với ΔOCD là:
k = AB/CD = 6/10 = 3/5
Hình ảnh minh họa hai tam giác đồng dạng tạo bởi hai đường chéo trong hình thang.
Ứng Dụng của Tỉ Số Đồng Dạng
Tỉ số đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Đo chiều cao vật thể: Dựa vào tỉ số đồng dạng, ta có thể đo chiều cao của các vật thể lớn như tòa nhà, cây cối mà không cần trực tiếp leo lên đo.
- Vẽ bản đồ và thu nhỏ hình ảnh: Tỉ số đồng dạng được sử dụng để thu nhỏ hoặc phóng to hình ảnh, bản đồ mà vẫn giữ nguyên tỉ lệ giữa các đối tượng.
- Thiết kế kiến trúc và xây dựng: Các kiến trúc sư và kỹ sư sử dụng tỉ số đồng dạng để thiết kế các công trình có tỉ lệ hài hòa và chính xác.
Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao
- Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng ΔABH ∼ ΔCBA và tìm tỉ số đồng dạng.
- Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AB. Đường thẳng DE cắt AC tại F. Tính tỉ số AF/FC.
- Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi AD/AB = 1/2.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập về tỉ số đồng dạng sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về hình học và áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các bạn học tốt!
