Trong chương trình Toán lớp 8, khái niệm tam giác đồng dạng đóng vai trò quan trọng. Một trong những ứng dụng thú vị và hữu ích của tam giác đồng dạng là việc tính tỉ số diện tích giữa hai tam giác đồng dạng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững chủ đề này, từ đó giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và nhanh chóng.
Công Thức Tính Tỉ Số Diện Tích Hai Tam Giác Đồng Dạng
Cho hai tam giác đồng dạng, gọi diện tích của chúng lần lượt là S và S’. Tỉ số diện tích của hai tam giác này bằng bình phương tỉ số đồng dạng của chúng.
Công thức cụ thể:
S’/S = (a’/a)² = k²
Trong đó:
- k là tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác (k = a’/a, với a’ và a là độ dài hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đồng dạng với nhau. Biết rằng AB = 2cm, A’B’ = 6cm và diện tích tam giác ABC là 5cm². Tính diện tích tam giác A’B’C’.
Lời giải:
Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác là: k = A’B’/AB = 6/2 = 3.
Áp dụng công thức tỉ số diện tích, ta có:
S(A’B’C’)/S(ABC) = k² = 3² = 9
Vậy, diện tích tam giác A’B’C’ là: S(A’B’C’) = 9 S(ABC) = 9 5 = 45cm².
Ví dụ 2: Tam giác MNP có MN = 4cm, tam giác QRS có QR = 8cm và tam giác MNP đồng dạng với tam giác QRS. Tính tỉ số diện tích của tam giác MNP và tam giác QRS.
Lời giải:
Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác là: k = MN/QR = 4/8 = 1/2.
Tỉ số diện tích của hai tam giác là: S(MNP)/S(QRS) = k² = (1/2)² = 1/4.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC và DEF đồng dạng, biết BC = 5cm, EF = 10cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và DEF.
Bài 2: Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng có tỉ số đồng dạng là 2/3. Diện tích tam giác A’B’C’ là 36cm². Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 3: Tam giác ABC có diện tích 25cm². Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích 100cm². Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và HAC.
Hình ảnh minh họa về hai tam giác đồng dạng ABC và A’B’C’, thể hiện trực quan mối quan hệ giữa các cạnh và góc tương ứng, qua đó làm rõ khái niệm tỉ số đồng dạng k.
Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 8cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AOB và COD.
Bài 6: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AMN và ABC.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DEF và ABC.
Bài 8: Cho tam giác ABC, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = 1/3 AB, lấy điểm N trên cạnh AC sao cho AN = 1/3 AC. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AMN và ABC.
Hình ảnh minh họa tam giác ABC với các đường trung bình, giúp hình dung bài toán liên quan đến tỉ số diện tích khi các điểm chia cạnh theo tỉ lệ nhất định.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng DM cắt AC tại I. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ADI và CIM.
Bài 10: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a, góc A bằng 60 độ. Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tam giác ADM theo a.
Hình ảnh mô tả tam giác vuông ABC với đường cao AH, làm nổi bật mối liên hệ giữa các cạnh và diện tích, thường gặp trong các bài toán về tỉ số diện tích.
Bài 11: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2cm, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 3cm. Chứng minh rằng tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC và tính tỉ số diện tích của hai tam giác này.
Bài 12: Cho tam giác ABC có diện tích là S. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tính diện tích tam giác MNP theo S.
Hình ảnh trực quan hóa việc so sánh diện tích giữa hai tam giác có mối quan hệ đặc biệt, thường gặp trong các bài toán chứng minh và tính toán tỉ lệ.
Kết Luận
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. Chúc bạn học tốt môn Toán!
