1. Phương Pháp Thu Gọn và Sắp Xếp Đa Thức Một Biến
Thu gọn đa thức là quá trình kết hợp các đơn thức đồng dạng (các đơn thức có cùng phần biến) trong đa thức. Một đa thức được coi là đã thu gọn khi không còn hai hạng tử nào đồng dạng.
Quy tắc: Cộng (hoặc trừ) các hệ số của các đơn thức đồng dạng và giữ nguyên phần biến.
Ví dụ:
3x^2 + 5x^2 = (3+5)x^2 = 8x^2
b) Sắp xếp đa thức một biến
Để thuận tiện cho việc tính toán và so sánh, đa thức một biến thường được sắp xếp theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
- Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần: Bắt đầu từ số mũ lớn nhất của biến, sau đó đến số mũ nhỏ hơn, và cuối cùng là hằng số (nếu có).
- Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần: Bắt đầu từ hằng số (nếu có), sau đó đến số mũ nhỏ nhất của biến, và cuối cùng là số mũ lớn nhất.
Ví dụ: Đa thức P(x) = 5x^3 - 2x + 1 + x^2
- Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần:
P(x) = 5x^3 + x^2 - 2x + 1 - Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần:
P(x) = 1 - 2x + x^2 + 5x^3
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Thu gọn đa thức sau: P(x) = 3x^2 - 2x + 5 - x^2 + 4x - 2
Hướng dẫn giải:
Thu gọn đa thức P(x), ta được:
P(x) = 3x^2 - 2x + 5 - x^2 + 4x - 2
= (3x^2 - x^2) + (-2x + 4x) + (5 - 2)
= 2x^2 + 2x + 3
Vậy, đa thức thu gọn là P(x) = 2x^2 + 2x + 3
Ví dụ 2: Cho đa thức Q(x) = 5x^4 - 3x^2 + x - 7 + 2x^3. Hãy:
a) Thu gọn đa thức Q(x).
b) Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.
Hướng dẫn giải:
a) Đa thức Q(x) đã thu gọn vì không có các hạng tử đồng dạng.
b) Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta có:
Q(x) = 5x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 7
Ví dụ 3: Thu gọn và sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:
A(x) = 7x^3 - 4x^5 + 2x - 9x^3 + 6x^2 + 5x^5 - x + 3
Hướng dẫn giải:
Thu gọn đa thức:
A(x) = 7x^3 - 4x^5 + 2x - 9x^3 + 6x^2 + 5x^5 - x + 3
A(x) = (-4x^5 + 5x^5) + (7x^3 - 9x^3) + 6x^2 + (2x - x) + 3
A(x) = x^5 - 2x^3 + 6x^2 + x + 3
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần:
A(x) = x^5 - 2x^3 + 6x^2 + x + 3
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Thu gọn đa thức P(x) = 4x^3 – 2x + x^2 – 3x^3 + 5x – 2x^2 + 1
A. P(x) = x^3 – x^2 + 3x + 1
B. P(x) = x^3 + x^2 + 3x + 1
C. P(x) = x^3 – x^2 – 3x + 1
D. P(x) = x^3 – 3x^2 + 3x + 1
Bài 2. Thu gọn đa thức Q(x) = 7x^4 + 3x^2 – x + 5 – 2x^4 – x^2 + 3x – 2
A. Q(x) = 5x^4 + 2x^2 + 2x + 3
B. Q(x) = 9x^4 + 4x^2 – 4x + 7
C. Q(x) = 5x^4 + 4x^2 + 2x + 3
D. Q(x) = 5x^4 + 2x^2 – 2x + 3
Bài 3. Thu gọn đa thức M(x) = -5x^6 + 3x^2 - 7 + 2x^6 - x^2 + 4
A. M(x) = -3x^6 + 2x^2 - 3
B. M(x) = -3x^6 + 4x^2 - 11
C. M(x) = -7x^6 + 2x^2 - 3
D. M(x) = -3x^6 + 2x^2 + 3
Bài 4. Sắp xếp đa thức N(x) = 2x – 5x^3 + 1 + 3x^2 theo lũy thừa giảm dần của biến:
A. N(x) = 1 + 2x + 3x^2 – 5x^3
B. N(x) = -5x^3 + 3x^2 + 2x + 1
C. N(x) = 2x + 3x^2 – 5x^3 + 1
D. N(x) = -5x^3 + 3x^2 + 2x – 1
Bài 5. Sắp xếp đa thức H(x) = 7x^5 – 3x + 2x^2 – 4x^3 + 1 theo lũy thừa tăng dần của biến:
A. H(x) = 1 – 3x + 2x^2 – 4x^3 + 7x^5
B. H(x) = 7x^5 – 4x^3 + 2x^2 – 3x + 1
C. H(x) = 1 + 2x^2 – 3x – 4x^3 + 7x^5
D. H(x) = 7x^5 – 4x^3 + 2x^2 – 3x – 1
Bài 6. Thu gọn và sắp xếp đa thức K(x) = 3x^2 – 2x^4 + x – 5 + x^4 – 2x + 4x^2 + 8 theo lũy thừa giảm dần:
A. K(x) = -x^4 + 7x^2 – x + 3
B. K(x) = x^4 + 7x^2 – x + 3
C. K(x) = -x^4 + 7x^2 + x + 3
D. K(x) = -x^4 + 7x^2 – x - 3
Bài 7. Tìm bậc của đa thức A(x) sau khi thu gọn: A(x) = 5x^3 – 2x + 1 – 3x^3 + 4x – 2
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 8. Cho đa thức B(x) = ax^2 + bx + c. Biết B(0) = 2, B(1) = 5, B(-1) = 1. Tính a + b + c.
A. 2
B. 5
C. 1
D. 8
Bài 9. Đa thức nào sau đây đã được thu gọn?
A. 3x^2 + 2x - x
B. 4x^3 - 2x^2 + x - 1 + x^2
C. 5x^4 - 3x + 2 - x^4
D. 2x^5 + 3x^2 - 1
Bài 10. Cho đa thức P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5. Giá trị của P(1) là:
A. -3
B. -2
C. -1
D. 0
Hy vọng với các bài tập này, các em sẽ nắm vững hơn về cách thu gọn và sắp xếp đa thức một biến. Chúc các em học tốt!
