Trong chương trình Toán lớp 12, việc nắm vững công thức và ứng dụng của Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, bao gồm công thức, ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện để bạn có thể tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan.
1. Công Thức Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay
1.1. Thể tích của vật thể bất kỳ
Để tính thể tích của một vật thể bất kỳ, ta sử dụng tích phân xác định. Giả sử vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Khi đó, thể tích V của vật thể được tính theo công thức:
V= ∫abS(x)dx.
Lưu ý: Nếu S(x) = S (diện tích không đổi) với mọi x thuộc đoạn [a; b] thì V = (b – a)S.
1.2. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox
Xét hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay này được tính bởi công thức:
V = π∫abf2(x)dx.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
Lời giải:
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, với hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.
Khi đó, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x) = B (với 0 ≤ x ≤ h). Áp dụng công thức tính thể tích vật thể, ta có:
V = ∫0hS(x)dx = ∫0hBdx = Bx|0h = Bh.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin(x), trục hoành, hai đường thẳng x = 0, x = π/4 quay quanh trục hoành.
Lời giải:
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay, ta có:
V = π∫0π/4sin2(x)dx = π/2∫0π/4(1−cos(2x))dx = π/2[x−1/2sin(2x)]0π/4 = π/2(π/4−1/2) = π(π−2)/8.
Ví dụ 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay là:
V = π∫12(x2)2dx = π∫12x4dx = π[x5/5]12 = π(32/5 – 1/5) = 31π/5.
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 quay quanh trục Ox.
Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 4x – x², y = 0, x = 0, x = 4.
Bài 3: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √(4−x²), trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (S) quanh trục Ox.
Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y = 3 – x², y = 0;
b) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π;
c) y = cot x, y = 0, x = π/4, x = π/2. (Chú ý đến cận tích phân)
Bài 5: Một bình hoa bằng gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số y = 0,055x² + 0,085x + 4 (0 ≤ x ≤ 25) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1,5 cm. (Bài toán thực tế về thể tích vật thể tròn xoay)
Hy vọng với những kiến thức, ví dụ và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững và tự tin hơn khi giải các bài toán về thể tích vật thể tròn xoay. Chúc bạn thành công!
