Công thức tính thể tích khối lăng trụ là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, công thức tính thể tích cho các dạng lăng trụ khác nhau và các bài tập minh họa có lời giải chi tiết.
1. Lý thuyết chung về hình lăng trụ
- Định nghĩa: Hình lăng trụ là một khối đa diện có hai mặt đáy là hai đa giác phẳng, song song và bằng nhau. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.
- Tính chất:
- Các cạnh bên của lăng trụ song song và bằng nhau.
- Các mặt bên là hình bình hành.
- Hai mặt đáy là hai đa giác đồng dạng và nằm trên hai mặt phẳng song song.
- Các loại lăng trụ thường gặp:
- Lăng trụ xiên: Là lăng trụ có các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.
- Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Khi đó, các mặt bên là hình chữ nhật.
- Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
2. Công thức tính Thể Tích V Của Khối Lăng Trụ
-
Công thức tổng quát:
V = S.h
Trong đó:
- V là thể tích của khối lăng trụ.
- S là diện tích mặt đáy của lăng trụ.
- h là chiều cao của lăng trụ (khoảng cách giữa hai mặt đáy).
-
Các trường hợp đặc biệt:
-
Hình hộp chữ nhật: V = a.b.c (a, b, c là chiều dài, chiều rộng và chiều cao).
-
Hình lập phương: V = a3 (a là độ dài cạnh).
-
Thể tích của hình hộp chữ nhật:
-
Thể tích hình lập phương:
-
3. Các dạng bài tập thường gặp về thể tích khối lăng trụ
-
Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng
- Phương pháp: Xác định diện tích đáy S, chiều cao h, sau đó áp dụng công thức V = S.h.
Ví dụ: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a√2 và BC’ = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Lời giải:
* Tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC = a. * Do lăng trụ đứng nên CC' vuông góc với BC. * Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BCC': CC' = √(BC'^2 - BC^2) = √(4a^2 - a^2) = a√3. * Diện tích tam giác ABC: S = (1/2).AB.BC = (1/2).a.a = a^2/2. * Thể tích lăng trụ: V = S.h = (a^2/2) * (a√3) = (a^3√3)/2. -
Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên
- Phương pháp: Xác định diện tích đáy S, chiều cao h (khoảng cách từ một đỉnh của đáy trên xuống mặt phẳng chứa đáy dưới), sau đó áp dụng công thức V = S.h. Chú ý: cần xác định đúng hình chiếu vuông góc để tính chiều cao.
Ví dụ: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a√3 và hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích của lăng trụ.
Lời giải:
* Gọi H là hình chiếu vuông góc của C' xuống mặt phẳng (ABC). Góc giữa C'C và (ABC) là góc C'CH = 45°. * Tính C'H: C'H = C'C * sin(45°) = (a√3) * (√2/2) = (a√6)/2. * Diện tích tam giác ABC: S = (a^2√3)/4. * Thể tích lăng trụ: V = S.h = ((a^2√3)/4) * ((a√6)/2) = (a^3√18)/8 = (3a^3√2)/8.
4. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A; AB = a, AC = a√3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng (a√3)/2. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a. AA’ = 2a; AC’ = 2a. Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; AB = a. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB’A’) tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về thể tích khối lăng trụ. Chúc các bạn học tốt!